Применение в кристаллографии

Тема: Понятие правильного многогранника.

Задание: изучить теоретические основы темы по конспекту или учебнику (Геометрия. Учебник для 10-11 классов - Атанасян Л.С., глава III, § 3, п. 36), решить задачи самостоятельной работы и ответить письменно на вопросы кроссворда.

Теоретический минимум и задачи

«Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л.Кэрролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует 5 типов правильных многогранников:

Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Правильный додекаэдр

Правильный гексаэдр

Правильный икосаэдр

Правильный тетраэдр

В переводе с греческого «тетраэдр» - четырёхгранник. У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.

Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

Правильный гексаэдр

Гексаэдр - шестигранник.

У правильного гексаэдра (куба) все грани -квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

Правильный октаэдр

Октаэдр - восьмигранник.

У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра, в каждой вершине сходится по четыре ребра.

Правильный додекаэдр

Додекаэдр - двенадцатигранник.

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники.

В каждой вершине сходится по три ребра.

Правильный икосаэдр

Икосаэдр - двадцатигранник.

У икосаэдра грани – правильные треугольники.

В каждой вершине сходится по пять рёбер.

Историческая справка

О существовании всего лишь пяти правильных многогранников знали еще в Древней Греции. Великий древнегреческий мыслитель Платон считал, что четыре из них олицетворяют четыре «стихии»: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал собой все мироздание, представлял собой образ всей Вселенной, почитался главнейшим и его стали называть quinta essentia (квинта эссенциа») или «пятая сущность». Правильные многогранники называют иногда Платоновыми телами, им посвящена последняя книга «Начал» Евклида. Её считают венцом стереометрии у древних греков.

Применение в кристаллографии

Тела Платона нашли широкое применение в кристаллографии, так как многие кристаллы имеют форму правильных многогранников. Например, куб - монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов, одна из форм кристаллов алмаза – октаэдр Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.Молекулы воды имеют форму тетраэдра. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра. Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров.