Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Урок №106.  Решение задач по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции.»

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,

2)Определение алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке,

3) Рассмотреть прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Глоссарий по теме

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:

1. Найти область определения функции D(f).

2. Найти производную f‘ (x).

3. Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).

4. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b).

5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Основная литература:

Ш.А.Алимов  Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни)10- 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3. Если наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:

1. Найти производную f‘ (x) стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).

2. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b)и среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x³ – 9x² + 12x – 2 на отрезке [0; 3]

Решение. Действуем в соответствии с алгоритмом.

1) D(f) = (-∞; +∞).

2) f (x) = 6x² – 18x + 12

3) Стационарные точки: х = 1; х = 2.

4) f(0) = -2

f(3) = 7

f(1) = 3

f(2) = 2

5) f_наим.=f(0) = -2

f_наиб.=f(3) = 7.

Ответ: f_наим= -2

f_наиб.= 7.

№2. Найдите два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее.

Решение.

Пусть первое число равно х,

Тогда второе число -

Следовательно,

Произведение этих чисел равно х(16 – х).

Составим функцию:

f(x) = x(16 – x)

x = 8 – единственная стационарная точка на интервале (0; 16), она является точкой максимума.

Следовательно, в этой точке функция F(x) = x(16 – x) принимает наибольшее значение.

Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее, это 8 и 8.

Ответ: 8 и 8

Д/З §52 №939,940