Логарифмирование обеих частей уравнения

1 2

Математика 14 группа урок 17.04.2020

Тема: Решение логарифмических уравнений.

Цель: научиться решать простейшие логарифмические уравнения.

Задание:

Познакомиться с материалом.

Списать таблицу.

Решить уравнения.

Метод решения	Пример	Ответ
1)логарифмирование	9^х =0,7 логарифмируем по основанию 9 log99^х = log90,7 х*log99 = log90,7	х= log90,7
2)Определение логарифма	а) log5х =2 х = 5² х = 25 Ответ: 25. б) log3(х²+6) = log35х х² + 6 = 5х х² - 5х + 6 = 0 х₁ = 2 Є ОДЗ х₂ = 3 Є ОДЗ Ответ: 2;3.
3)Свойства логарифма	а) log4х =log42 + log47 log4х =log427 х = 14 Є ОДЗ (14>0) Ответ: 14 б) log3х + log3(3х-2)= log35 log3(х (3х-2))= log35 х *(3х-2) = 5 3х² – 2 х – 5 = 0 х₁ = -1 ОДЗ (- 1 < 0) х₂ = 5/3 Є ОДЗ Ответ: 5/3.
4)Основное логарифмическое тождество а^log_а^в = в	7^log₇^(2х+3) = 3х+8 2х +3 = 3х +8 х=-5 Проверка: х=-5: log7(2^.(-5)+3)= log₇ (-7) — не определен, значит х=-5 не является корнем уравнения.	Ответ:корней нет
5)Введение новой переменной	- 4log₂x+3 = 0	2и8
6)Разложение на множители	log³₂(2х-1) - 4 log₂(2х-1) = 0 1) О.Д.З.: 2х-1>0, х>1/2 2) х=1 Є ОДЗ,х=2,5 Є ОДЗ,х=7/8 Є ОДЗ,

И 6 методы будут рассмотрены на следующем уроке.

Решить самостоятельно.

Найдите корень уравнения

1. log₂(4 - х) = 8 2. log₃(х + 2) = 2 3. log₄(х + 7) = 2

4. log₂(-3х + 8) = 7 5. log₃(- 10х - 14) = 4 6. log₂(12 - 4х) = 5

7. log₅(-10 - 3х) = 3 8. log₄(5 - х) = 2 9. log_1/7(х + 7) = -2

10. log₅(х - 4) = 2 11. log_1/5(5 - х) = -2 12. log₇(х - 6) = 2

Так как у многих из вас могут быть ошибки при решении простейших линейных уравнений, все уравнения делать с проверкой. (именно такие уравнения будут в экзаменационной работе)

Пример оформления:

log₂(4 - х) = 8

4 – х = 2⁸

4 – х = 256

- х = 256 – 4

- х = 252

х = - 252

Проверка:

При х = - 252 log₂(4 – (- 252)) = 8, log₂256 = 8 – верно.

Ответ: - 256.

Для ознакомления и помощи.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log_ax = b (где а>0, a ≠ 1). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что а^b является таким решением.

Методы

1. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида .

Рассмотрим № 514(а): Решить уравнение

Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма)

Решение. , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим пример 2 (стр. 242):

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение 1. ОДЗ:

Потенцируем исходное уравнение , получим уравнение 2x + 3 = х + 1. Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.

Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе:

Уравнение

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Решение 2. Уравнение равносильно системе:

Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

Решение 3. . Сделаем проверку: неверно, так как не имеет смысла.