II. Определенный интеграл

Основные сведения из теории.

1. Определённый интеграл и его геометрический смысл.

Приращение F (b) – F (a) любой из первообразных функций

 F(x)+ C при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом от a до b функции  f (x) и обозначается:

.

Числа a и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а переменная x – переменной интегрирования.

   Таким образом, по определению

.

Данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Если интегрируемая на отрезке [a;b] функция f (x) неотрицательна, то определённый интеграл:                

численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b:

                                          

2. Свойства определённого интеграла.

1°. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если

A = const, то

2°. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

3°. Если a<c<b, то

4°. Если функция f (x) неотрицательная на отрезке [a;b], где a<b, то

5°. Если f (x)≥ g (x) для всех x € [a;b], где a<b, то

6°. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a;b], где a<b, то

7°. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка  такая, что

 

   Примеры вычисления определенных интегралов.

Пример 1: Вычислить .

                                  

Пример 2:  Вычислить

Пример 3: Вычислить :

Пример 4: Вычислить: :

.

         

 

Задания для самостоятельного решения.

Вариант 1

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить следующие интегралы:

 

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. Методом подстановки вычислить:

 

а) , б) , в) , г) , д) ,

е) , ж) , з) .

Вариант 2.

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить следующие интегралы:

 

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. Методом подстановки вычислить:

 

а) , б) , в) , г) ,       

д) , е) , ж) , з) .

Вариант 3.

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить следующие интегралы:

 

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. Методом подстановки вычислить:

 

а) , б) , в) , г) ,      

д) , е) , ж) , з) .

Вариант 4.

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить следующие интегралы:

 

а)       , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. Методом подстановки вычислить:

 

а) , б) , в) , г) ,       

д) , е) , ж) , з) .

 

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте определение первообразной.

2. Дайте понятие неопределенного интеграла.

3. Какие основные формулы интегрирования вы знаете?

4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

5. С каким способом интегрирования вы еще знакомы и в чем его суть?

6.В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

7.Запишите формулу Ньютона-Лейбница

8.Какие основные свойства определенного интеграла вы знаете?

 

 

№ п/п	ФИО	Вариант
1	Аблаев Ислям	1
2	Аблялимов Имран	2
3	Аблялимов Ридван	3
4	Адамус Владислав	4
5	Антонова Диана	1
6	Борщева Кристина	2
7	Булава Александр	3
8	Давлетов Риза	4
9	Довгань Виталий	1
10	Кистечко Олег	2
11	Литовчук Виктория	3
12	Любарчук Владимир	4
13	Люманов Решат	1
14	Михайлин Михаил	2
15	Муртазин Кемал	3
16	Негрич Даниил	4
17	Орлов Кирилл	1
18	Савченко Егор	2
19	Сейтибраимов Нури	3
20	Селеметов Марлен	4
21	Федун Владлен	1
22	Филиппов Кирилл	-
23	Штефан Артем	2
24	Яценко Влада	3
25	Понедельников Максим	4