2020-06-08
171
Булева алгебра названа в честь ее разработчика ирландского математика Джорджа Буля. Также ее называют алгеброй логики. Она изучает взаимосвязь между простыми высказываниями, образующими сложные высказывания. Если значение истинности не зависит от других высказываний, оно называется простым, если же значение истинности зависит от значений истинности составляющих его высказываний, то – сложным. С точки зрения алгебры Буля простое высказывание может принимать только два значения – истина и ложь (1 и 0). Таким образом, простое высказывание является двоичной переменной.
Функцией алгебры логики n -переменных называют функцию F (x), однозначно сопоставляющую каждому конкретному набору значений 0 или 1 переменных (х0, х1, х2…хn) одно из двух возможных значений 0 или 1 самой функции.
Функция F(x) может быть задана словесным описанием, таблично или аналитическим способом. Аналитически заданные функции по определенным правилам могут преобразовываться и упрощаться. Можно также минимизировать булевы функции с помощью карт Карно. Однако все эти методы рассматриваются в других курсах.
|
|
|
Наиболее часто используются следующие булевы функции.
1. Логическое отрицание НЕ (инверсия) – преобразует истинное высказывание в ложное и наоборот, символически записывается 
– y равен НЕ x.
2. Логическое сложение ИЛИ (дизъюнкция ) – результат – сложное высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из простых высказываний, и ложным, если ложны все простые высказывания. Символически
y = x 1 + x 2 + x 3 + … или y = x 1 Ú x 2 Ú x 3 Ú …
3. Логическое умножение И (конъюнкция ) аналогично ИЛИ, но при этом сложное высказывание считается истинным только тогда, когда истинны все простые высказывания. Символически
y = x 1 × x 2 × x 3 … или y = x 1 Ù x 2 Ù x 3 Ù …
С их помощью можно реализовать сколь угодно сложную логическую операцию.
Более сложные операции:
4. Отрицание логического сложения ИЛИ–НЕ («стрелка Пирса»):
или y = x 1 ¯ x 2 или 
;
5. Отрицание логического умножения И–НЕ («штрих Шеффера»):
или y = x 1 / x 2 или 
;
6. Исключающее ИЛИ аналогично операции ИЛИ за исключением ситуации истинности всех простых высказываний – тогда результат сложного высказывания ложен. Символически
y = x 1 Å x 2 или y = x 1 Ú x 2.
В табл. 3.1 сведены значения двоичной переменной y для приведенных операций. Такие таблицы называют таблицами истинности.
Таблица 1
| x 1 | x 2 | ИЛИ | И | ИЛИ–НЕ | И–НЕ | И ИЛИ |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Алгебра логики широко используется в теории цифровой техники, в которой используются устройства с двумя устойчивыми состояниями. При этом одно из этих состояний соответствует, например, высокому уровню напряжения и обозначается 1, а соответствующее низкому уровню напряжения – 0.
|
|
|
Для упрощения выражений булевых функций используется алгебра логики. Большинство правил алгебраических преобразований совпадает с правилами обычной алгебры, но имеются также специфические операции.
Аксиомы:
| 1 + А = 1; | 0 + А = А; | А + А = А; |  ;
| |
 ;
|  ;
|  ;
|  ;
|  .
|
Законы коммутативности: А + В = В + А, 
.
Законы ассоциативности: А + В + С = А + (В + С), 
.
Законы дистрибутивности: 
, 
.
Законы дуальности: 
, 
.
Законы поглощения: 
, 
.
Соответственно логическим операциям выпускаются логические элементы, их реализующие.
Логические элементы
Логическими элементами (ЛЭ) называются функциональные устройства, с помощью которых реализуются элементарные логические функции (рис.3.1). Они обычно используются для построения сложных преобразователей цифровых сигналов комбинационного типа, в которых отсутствует внутренняя память. Сигналы на их выходах в любой момент однозначно определяются сочетаниями сигналов на входах и не зависят от предыдущих состояний схемы. Характерной особенностью комбинационных устройств является отсутствие петель обратной связи.
ЛЭ выполняются в виде ИМС, в которых чаще всего используется, так называемая положительная логика: логическая 1 соответствует высокому, а логический 0 – низкому уровням напряжения. Если наоборот, то логика отрицательная
