Задание с решением записать в тетрадь

Уважаемый студент, добрый день.

Конспект и решения с ответами прислать на e-mail: altjin46@rambler.ru или в личку ВК. 

В тетрадь записываем число и свою фамилию собственноручно!

Изучение новой темы

Тема. Экстремумы функции. (записать в тетрадь)

Рассмотрим два графика

рис 1

рис 2

На рис. 1 точка с координатами (0; 1) - максимальная. На рис. 2 точка с координатами (2; 3) - минимальная. Таким образом точка х=0 (рис 1) называется точкой максимума функции и точка х=2 (рис 2) называется точкой минимума функции.

Определение. (записать в тетрадь) Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Определение. (записать в тетрадь) Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными.

Теорема (записать в тетрадь) Пусть функция f(x)дифференцируема на интервале (a;b), x₀  (a;b), f ′(x)=0. Тогда

1) если при переходе через стационарную точку х₀ функции f(x) её производная меняет знак с "плюса" на "минус", то точка х₀ точка максимума

2) если при переходе через стационарную точку х₀ функции f(x) её производная меняет знак с "минуса" на "плюс", то точка х₀ точка минимума

Задание с решением записать в тетрадь.

Найти точки экстремума функции

№ 1.  f(x)=2х²-20х+1

Решение: 1) находим производную функции f ′(x)=(2х²-20х+1)′ =4х-20

 2) находим стационарные точки f ′(x)=0

4х-20=0

х=5

3) рисуем луч Ох, ставим точку х=5, и слева/справа определяем знаки +/-

Для этого берём любое число из промежутка, например, числа 0 или 1 или (-1) и подставляем вместо х в производную

4х-20, т.е. 4*0-20=-20<0, значит в интервале в котором стоит 0 ставим -

0

5

х

-                         +

 

 Ответ: х=5- точка минимума (по Теореме пункт 2)

№ 2.  f(x)=х³-3х²

Решение: 1) находим производную функции f ′(x)=(х³-3х²)′ =3х²-6х

 2) находим стационарные точки f ′(x)=0

3х²-6х=0, решая квадратное уравнение через дискриминант, получим

х₁=0, х₂=2

3) рисуем луч Ох, ставим точки х₁=0, х₂=2, слева/справа и посередине определяем знаки +/-

Для этого берём любое число из промежутка, например, числа 1 или (-1) и подставляем вместо х в производную

3х²-6х, т.е. 3 1²-6 1=-3 <0, значит в интервале в котором стоит 1 ставим -

1

0

2

х

+         -                +

 

используя Теорему выписываем ответ

Ответ: х₁=0 - точка максимума,

х₂=2 - точка минимума.