Действительные числа. Приближённые вычисления

20.05.20

Краткое повторение алгебры за 8 класс (основные понятия, формулы и определения). Вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2017

Функции

■ 33. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Независимую переменную х иначе называют аргументом, а о зависимой переменной у говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

■ 34. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — числа. Её областью определения является множество всех действительных чисел.

Графиком линейной функции является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = kx + b.

Если k ≠ 0, то график функции у = kx + b пересекает ось х; если k = 0 и b ≠ 0, то прямая у = kx + b параллельна оси х; если k = 0 и b = 0, то график функции совпадает с осью х.

■ 35. Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.

■ 36. Линейную функцию, задаваемую формулой у = kx при k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью. График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при k < 0 — во второй и четвёртой координатных четвертях.

■ 37. Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = k/x, где х — независимая переменная, k — не равное нулю число. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, отличных от нуля.

При k > 0 функция у = k/x принимает отрицательные значения, если х < 0, и положительные значения, если х > 0.
При k < 0 функция у = k/x принимает положительные значения, если х < 0, и отрицательные значения, если х > 0.

График обратной пропорциональности — гипербола. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при k < 0 — во второй и четвёртой координатных четвертях.

■ 38. Областью определения функции у = х² является множество всех действительных чисел. Функция обращается в нуль при х = 0, а при х ≠ 0 принимает положительные значения. График функции у = х² — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.

■ 39. Областью определения функции у = х³ является множество всех действительных чисел. Функция обращается в нуль при х = 0, принимает отрицательные значения, если х < 0, и положительные значения, если х > 0. График функции у = x³ проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.

■ 40. Область определения функции у = √х — множество всех неотрицательных чисел. Функция обращается в нуль при х = 0, при х > 0 функция принимает положительные значения. График функции у = √х расположен в первой координатной четверти, он представляет собой ветвь параболы.

Действительные числа. Приближённые вычисления

■ 41. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Всякое рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

Положительные бесконечные десятичные дроби, противоположные им числа и число нуль образуют множество действительных чисел.

Число, которое можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, называют иррациональным числом.

Каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное число.

■ 42. Стандартным видом числа а называют его запись в виде a • 10ⁿ, где 1 ≤ а < 10 и n — целое число, число n называют порядком числа. Например, 73 000 = 7,3 • 10⁴; 0,0026 = 2,6 • 10^–3.

■ 43. Абсолютной погрешностью приближённого значения числа называется модуль разности точного и приближённого значений. Например, абсолютная погрешность приближённого значения 0,3 числа 1/3 равна

Если абсолютная погрешность приближённого значения не превосходит некоторого числа h, то это значение называют приближённым значением с точностью до h. Например, 1,41 является приближённым значением √2 с точностью до 0,01.

Если число х равно а с точностью до h, то пишут: х = a ± h. При этом число h обычно берут с одной или двумя значащими цифрами. Например, √3 = 1,73 ± 0,01.

■ 44. Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.

Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Например, при округлении дроби 25,4 до единиц получается приближённое значение 25. Его относительная погрешность равна