А) решение задач в целых числах

Задачи с экономическим содержанием

Решение задач на возращение взятого кредита в банке равными платежами.

Задача № 1

31.12.2014 года Сергей взял кредит 6944000 рублей в банке под 12,5% годовых. Схема выплаты: 31.12 каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Сергей делает платеж х рублей. Каким должен быть платеж х рублей, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: ежегодный платеж 2916000 рублей.

Задача № 2

31.12 2014 Родион взял в банке некоторую сумму под некоторый процент годовых. Схема выплаты следующая: 31.12 каждого следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга, затем Родион переводит платеж. Если Родион будет платить каждый год 1464100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если Родион будет платить по 2674100 рублей, то выплатит за 2 года. Под какой процент Родион взял кредит в банке?

Ответ: 10%.

Задача № 3.

Тимофей хочет взять кредит 1,1 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме может быть последней) после начисления процентов. Ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет Тимофей может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тыс. рублей?

Ответ: 6 лет.

Задача № 4

Иван положил 8000 рублей в банк под некоторый процент годовых. По истечению года к его вкладу были добавлены деньги, начисленные в качестве процентов, и помимо этого Иван увеличил свой вклад на 1360 рублей. Еще через год он решил снять 1440 рублей, а остальные 9360 рублей положил на новый срок. Чему равна процентная ставка?

Ответ: 8%.

Задача № 5.

Иван Петрович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита он вернул в банк 1/6 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени. А еще через год в счет полного погашения кредита Иван Петрович внес в банк сумму, на 20% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Ответ: 20.

Задача № 6

31.12.2014 года Евгений взял в банке 1млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31.12 каждого следующего года банк начисляет процента на оставшуюся сумму долга (то есть долг увеличивается на р%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя первый раз 540 тыс. рублей, а во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите р.

Решение задач на проценты и делимость.

Задача № 7

Вкладчик разместил в банке 32 000 рублей. Несколько лет он получал по 5% годовых, а затем несколько лет – по 10% годовых. За последний год вкладчик получил 25 % годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого и добавлялись к сумме вклада. В результате вклад стал равным 53 361 рублю. Сколько лет пролежал вклад?

Ответ: 5 лет.

Задача № 8

Брокерская фирма выставила на торги пакет акций, состоящий из акций двух компаний: нефтяной компании (по 100 долларов за акцию) и газовой компании (по 65 долларов 60 центов за акцию). Всего было выставлено 200 акций. Все акции газовой компании были проданы, а часть акций нефтяной компании осталась непроданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов. Определите процент акций газовой компании в выставленном на продажу пакете и найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.

Задача № 9

Сумма вклада увеличивалась первого числа каждого месяца на 2% по отношениюк сумме на первое число предыдущего месяца. Аналогично, цена на кирпичвозрастала на 36% ежемесячно. Отсрочив покупку кирпича, 1 мая в банк положилинекоторую сумму. На сколько процентов меньше в этом случае можно купить кирпичана 1 июля того же года на всю сумму, полученную из банка вместе с процентами?

Ответ 43,75%

 

3. Задачи на возращение, взятого кредита, в которой платежи и долг клиента образуют арифметическую прогрессию.

Базовая конструкция таких задач: В июле планируется взять в банке на сумму   рублей на некоторый срок, равный целому числу лет n. Условия возврата кредита таковы:

· каждый январь долг возрастает на р% по сравнению с концом предыдущего месяца;

· с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

· в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Возможные варианты вопросов в задаче:

а) Найти р %, если известно сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

б) Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, если известна выплата mрублей за некоторый год?

в) На сколько лет взят кредит, если известна сумма, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Задача № 10

15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на р % по сравнению с концом предыдущего месяца;
• Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования на 39% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите р.

Ответ: 3%

Задача № 11

В июле планируется взять в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок, равный целому числу лет. Условия возврата кредита таковы:

каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего месяца;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если общая сумма выплат после его полного погашения составит 47 млн. рублей?

Ответ: 8 лет.

Задача № 12

В июне планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по май каждого года необходимо выплачивать часть долга.
• в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что сумма выплат банку сверх взятого кредита после его полного погашения составила 3 млн. рублей?

Ответ: 11 лет.

Задача № 13

1 июня планируется в банке взять в кредит некоторую сумму денег на срок 12 месяцев. Условия возврата таковы:

• 15 числа каждого месяца долг возрастает на r % (r – целое число) по сравнению с началом текущего месяца;
• с 16 по 28 число необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало каждого следующего месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем.

Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что за вторую половину года было выплачено более, чем на 30% меньше, нежели за первую половину.

Ответ:10

Задача № 14

1 июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

• 15 числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего месяца;
• с 16 по 28 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга.
• 1 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 1 число предыдущего месяца.

На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на 144 тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Ответ: 30 месяцев; 765 тыс. руб.

 

4. Решение производственных задач на оптимизацию:

а) решение задач в целых числах

Задача № 15

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? 

Ответ: 86000 рублей.

Задача № 16

Баржу грузоподъемностью 180 тонн используют для перевозки контейнеров типов А и В. По условиям договора количество перевозимых контейнеров типа А должно составлять не более 75% количества перевозимых контейнеров типа В. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 3 тонны и 3 млн. руб., контейнера типа В – 7 тонн и 5 млн. руб. соответственно. Найдите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, которые можно перевезти при данных условиях. Укажите число контейнеров типа А и число контейнеров типа В, которые нужно перевезти для получения наибольшей возможной суммарной стоимости.

Ответ: количество контейнеров типа А составит 13 штука вида, В-20 штук, наибольшая суммарная стоимость равна 139 млн. руб.

Задача № 17

В начале января 2018 года планируется взять кредит в банке на 4 года на S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый июль долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего года;
• с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в январе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Начало года	2018	2019	2020	2021	2022
Долг (в млн. рублей)	S	0,8S	0,5S	0,3S	0

 

Найдите наименьшее значение S, при котором сумма выплат банку за все 4 года составит не менее 10 млн. рублей.

Ответ 8 млн.рублей.

Задача № 18

1 апреля 2017 года Юрий открыл в банке счёт «Пополняй», вложив 6 млн. рублей сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.

1 апреля 2018 года и 1 апреля 2020 года Юрий решил пополнять счёт на п тысяч рублей (п – целое число).

1 апреля 2021 года Юрий собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.

Найдите наибольшее значение п, при котором доход Юрия от вложений в банк за эти 4 года окажется не более 3 млн. рублей.

Ответ: 499.

б) нахождение наибольшего или наименьшего значения функции с применением производной;

Задача № 19

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производят абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t²часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе трудятся t²часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом заводе) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять по 5000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ: 500 единиц товара можно произвести за неделю.

Задача № 20

В двух шахтах добывают алюминий и никель. Впервой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 5400 кг.