ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ, РАЦИОНАЛЬНЫХ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ, СТЕПЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Теоретические сведения.
КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.
Корень n – степени: , n - показатель корня, а – подкоренное выражение
Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а
Если n – четное число, то выражение имеет смысл при
Арифметический корень:
Корень нечетной степени из отрицательного числа:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ
1. Правило извлечения корня из произведения:
2. Правило извлечения корня из дроби:
3. Правило извлечения корня из корня:
4. Правило вынесения множителя из под знака корня:
5. Внесение множителя под знак корня:
,
6. Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.
7. Правило возведения корня в степень.
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
= , a – основание степени, n – показатель степени
Свойства:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным.
|
|
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным.
3. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
4. При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.
5. Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.
6. Если
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
1.
2.
3.
4. По определению:
Свойства:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Пусть r рациональное число , тогда
при r>0 > при r<0
7. Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует
> при a>1 при
Формулы сокращённого умножения.
Пример 1. Упростите выражение .
Решение
Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .
Ответ: 9m7.
Пример 2. Сократить дробь:
Решение.Так область определения дроби все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби и равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.
Пример 3. Сократить дробь:
Пример 4. Упростить:
Пример 5. Упростить:
Пример 6. Упростить:
Пример 7. Упростить:
Пример 8. Упростить:
Пример 9. Вычислить: .
Решение.
Пример 10. Упростить выражение:
Решение.
Пример 11. Сократить дробь , если
Решение. .
Пример 12. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
|
|
Решение. В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.