Формулы сокращённого умножения

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ, РАЦИОНАЛЬНЫХ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ, СТЕПЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Теоретические сведения.

КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.

Корень n – степени: , n - показатель корня, а – подкоренное выражение

Если n – нечетное число, то выражение  имеет смысл при  а

Если  n – четное число, то выражение  имеет смысл при  

Арифметический корень:

Корень нечетной степени из отрицательного числа:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ

1. Правило извлечения корня из произведения:

2. Правило извлечения корня из дроби:

3. Правило извлечения корня из корня:

4. Правило вынесения множителя из под знака корня:

5. Внесение множителя под знак корня:

,

6. Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.

7. Правило возведения корня в степень.

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

= , a – основание степени, n – показатель степени

Свойства:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным.

3. При возведении степени в степень показатели перемножаются.

4. При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.

5. Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.

6. Если

СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1.

2.

3.

4. По определению:

Свойства:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Пусть r рациональное число , тогда

  при r>0                          >  при r<0

7. Для любого рациональных чисел r и s из неравенства >  следует

>  при a>1                                        при

Формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Упростите выражение .

Решение

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m⁷.

Пример 2. Сократить дробь:

Решение.Так область определения дроби все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби и равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.

Пример 3. Сократить дробь:

Пример 4. Упростить:

 Пример 5. Упростить:

Пример 6. Упростить:

Пример 7. Упростить:

Пример 8. Упростить:

Пример 9. Вычислить: .

Решение.

  Пример 10. Упростить выражение:

Решение.

Пример 11. Сократить дробь , если

Решение. .

Пример 12. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение. В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.