Пример 1. C помощью теоремы Дирихле определить, к чему сходится ряд Фурье функции

в точках (рис. 6).

Решение. Применим теорему Дирихле к заданной на отрезке

функции. Так как точки

– концы отрезка, то ряд Фурье функции сходится к значению (рис. 7)

Точка – точка разрыва функции, значит, ее ряд Фурье сходится в этой точке к значению

Точка – также точка разрыва функции, значит, ряд Фурье сходится в этой точке к значению

Точка – точка непрерывности функции, поэтому ее ряд Фурье сходится в этой точке к значению самой функции

Точка находится за пределами отрезка , и функция там не определена, но сумма ряда Фурье функции является периодической функцией с периодом . Так как , ряд Фурье в точке сходится к тому же значению, что и в точке , а поскольку – точка непрерывности, это значение равно .

Сумма ряда Фурье, полученного в результате разложения функции, изображена на рис. 7.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Разложение в ряд Фурье функции , заданной на отрезке , имеет вид

где

Найдем коэффициенты разложения . Так как на отрезке функция задана разными аналитическими выражениями, разобьем область интегрирования в каждом случае точкой на две подобласти и получим

= ,

(при вычислении заменили более простой функцией ).

В результате получим разложение функции в ряд Фурье

На рис. 8 изображена функция и частичные суммы ряда Фурье для трех, четырех, шести и восьми ненулевых слагаемых соответственно.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию

Решение. Разложим функцию, заданную на отрезке , в ряд Фурье по косинусам (доопределяем на отрезок как четную) с помощью формул:

При этом


а) График частичной суммы ряда Фурье из трех слагаемых	б) График частичной суммы ряда Фурье из четырех слагаемых


в) График частичной суммы ряда Фурье из шести слагаемых	г) График частичной суммы ряда Фурье из восьми слагаемых

Рис. 8. К примеру 2

Поэтому

На рис. 9 изображена функция , продолженная четным образом на отрезок , и частичная сумма получившегося ряда Фурье (4 ненулевых слагаемых).

Рис. 9. К примеру 3

Пример 4. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Решение. Разложим функцию, заданную на отрезке в ряд Фурье по синусам (доопределяем на отрезок , как нечетную) с помощью формул:

Тогда

Таким образом,

На рис. 10 изображена функция , продолженная нечетным образом на отрезок , и частичная сумма получившегося ряда Фурье (3 ненулевых слагаемых).

Рис. 10. К примеру 4

Рекомендуемая к § 7 литература – см. библ. список [1, 3, 9, 14 – 15, 19, 22, 26, 28].

В задачах 533 – 544 с помощью теоремы Дирихле определить, к чему сходятся ряды Фурье указанных функций в точке .

533.	.	Ответ.	1
534.	.	Ответ.	–1
535.	.	Ответ.	2
536.	, .	Ответ.	4,5
537.	.	Ответ.	1
538.	.	Ответ.	3
539.	.	Ответ.	0
540.	.	Ответ.	–1
541.	.	Ответ.	0
542.	.	Ответ.	2
543.	.	Ответ.	1
544.	, .	Ответ.	3

545.	Функция разложена на отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Найти сумму ряда в точке . Ответ. 0
546.	Функция разложена на отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Найти сумму ряда в точке . Ответ. -2
547.	Функция разложена на отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Найти сумму ряда в точке . Ответ. -1
548.	Функция разложена на отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Найти сумму ряда в точке . Ответ. 0

В задачах 549 – 568 найти коэффициенты разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке

().

549.		Ответ.
550.		Ответ.
551.		Ответ.
552.		Ответ.
553.		Ответ.
554.		Ответ.
555.		Ответ.
556.		Ответ.
557.		Ответ.
558.		Ответ.
559.		Ответ.
560.		Ответ.
561.		Ответ.
562.		Ответ.
563.		Ответ.
564.		Ответ.
565.		Ответ.
566.		Ответ.
567.		Ответ.
568.		Ответ.

В задачах 569 – 576 разложить в ряд Фурье указанные функции.

569.		Ответ.
570.		Ответ.
571.		Ответ.
572.		Ответ.
573.		Ответ.
574.		Ответ.
575.		Ответ.
576.		Ответ.

В задачах 577 – 588 найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по косинусам функции , заданной на отрезке

().

577.		Ответ.
578.		Ответ.
579.		Ответ.
580.		Ответ.
581.		Ответ.
582.		Ответ.
583.		Ответ.
584.		Ответ.
585.		Ответ.
586.		Ответ.
587.		Ответ.
588.		Ответ.

В задачах 589 – 592 разложить в ряд Фурье по косинусам указанные функции.

589.		Ответ.
590.		Ответ.
591.		Ответ.
592.		Ответ.

В задачах 593 – 605 найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции , заданной на отрезке

().

593.		Ответ.
594.		Ответ.
595.		Ответ.
596.		Ответ.
597.		Ответ.
598.		Ответ.
599.		Ответ.
600.		Ответ.
601.		Ответ.
602.		Ответ.
603.		Ответ.
604.		Ответ.
605.		Ответ.

В задачах 606 – 609 разложить в ряд Фурье по синусам указанные функции.

606.		Ответ.
607.		Ответ.
608.		Ответ.
609.		Ответ.

Глава 3. Дифференциальные уравнения

Уравнение, содержащее переменные, их функцию, а также производные этой функции (или дифференциалы), называется дифференциальным уравнением. Если функция зависит от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

§ 8. Дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

где функция у зависит от одной независимой переменной х.

Решить его (проинтегрировать) – значит найти функцию , обращающую уравнение в тождество. Функция , которая является решением уравнения при любом значении произвольной постоянной С, называется общим решением. Если в результате интегрирования получилось соотношение вида (неявное задание функции у), говорят, что получен общий интеграл дифференциального уравнения. Задача нахождения частного решения при заданных условиях () называется задачей Коши.

Рассмотрим некоторые дифференциальные уравнения первого порядка и способы их решения.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида

Переменные разделяются, если уравнение разделить на :

Теперь при – только функции, зависящие от х, а при – от у. Значит, уравнение можно интегрировать:

Получен общий интеграл дифференциального уравнения (решение, записанное в неявном виде).

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида

Его можно решить методом Эйлера-Бернулли с помощью подстановки

где и и v – две неизвестные функции. При этом . Подставляем полученные выражения в уравнение:

и группируем слагаемые

Так как одну из функций u или v можно выбрать произвольно (лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), найдем v, приравняв к 0 выражение в скобках:

При этом предыдущее уравнение примет вид

Решив первое из двух последних уравнений (оно с разделяющимися переменными), получим v, подставим v во второе уравнение (и оно с разделяющимися переменными) и найдем u. Осталось подставить найденные функции в формулу решения .

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

где – однородные функции одного порядка (, , k – порядок однородности).

Такое уравнение приводится к виду

и решается с помощью замены . При этом , (x – переменная, поэтому ).

В результате получаем уравнение

где . А это уравнение с разделяющимися переменными (способ решения описан выше).

Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах – это уравнение вида

где и удовлетворяют условию

В этом случае левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции :

и уравнение можно переписать так:

а его решение (в результате интегрирования) примет вид:

Функцию находят по формуле

( выбирают таким образом, чтобы интегралы в правой части имели смысл). В итоге получаем решение дифференциального уравнения (общий интеграл):

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение . Требуется: 1) найти общее решение дифференциального уравнения; 2) решить задачу Коши, если .

Решение. 1) Поскольку , перейдем к уравнению

Это уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, если разделить его на и умножить на , получим

Переменные разделены (при – только функции, зависящие от x, а при – от y), значит, уравнение можно интегрировать:

В результате получим общий интеграл дифференциального уравнения (решение в неявном виде)

Найдем общее решение, выразив y через x:

2) Решаем задачу Коши – находим частное решение при условии, что , то есть определяем C, подставляя в общее решение и :

При этом , значит, и частное решение имеет вид

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Это уравнение вида – линейное дифференциальное уравнение I порядка. Будем решать его методом Эйлера-Бернулли с помощью подстановки , где u и v две неизвестные функции. При этом . Подставляем полученные выражения в уравнение:

и группируем слагаемые

При этом предыдущее уравнение примет вид

Рассмотрим два последних уравнения.

Первое уравнение () – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, так как , получим

, или .

Переменные разделены, уравнение интегрируем:

Находим какое-либо частное решение этого уравнения (полагая, например, ). Получаем

, или .

Тогда

Подставим частное решение во второе уравнение ():

, откуда .

Полагая , получим . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

, ,

откуда .

Осталось подставить найденные функции в формулу решения

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Это уравнение вида , то есть однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решается с помощью замены . При этом , (x – переменная, поэтому ). В результате получаем уравнение