Теоретический материал

Урок № 17

ТЕМА: Механические колебания и волны

Урок усвоения новых знаний

Задание 1. Прочитать внимательно конспект

Задание 2. Составить в рабочей тетради конспект по данной теме

Теоретический материал

Колебания бывают двух типов: свободные и вынужденные.

Свободные колебания возникают за счет внутренних сил системы, после того как она была выведена из состояния равновесия.

Вынужденные колебания возникают за счет внешней периодической силы.

Самым простым колебательным движением тела является гармоническое колебание.

Гармоническим называют колебание, в процессе которого величины, характеризующие движение (смещение, скорость, ускорение и др.), изменяются по закону синуса или косинуса (гармоническому закону). В общем виде этот закон задается формулой:

x(t)=Asin(ωt+φ0),

где x(t) — значение изменяющейся величины в момент времени t, A — амплитуда колебаний, ω — циклическая (круговая) частота колебаний, φ0 — начальная фаза колебаний.

Гармонические колебания являются периодическими. Период T этих колебаний равен периоду функции sin(ωt+φ0), то есть

T=2πω.

Очень часто как свободные, так и вынужденные колебания в различных механических колебательных системах имеют форму гармонических колебаний. Поведение тела, совершающего колебания по гармоническому закону, описывается дифференциальным уравнением вида

x″+ω2x=0,

где x″ — вторая производная координаты x тела по времени t, то есть проекция ax его ускорения на ось x.

Пружинный маятник − это колебательная система, состоящая из материальной точки массой m и пружины.

Период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

T=2πmk,

где k — коэффициент жесткости пружины маятника. Как следует из данной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Рассмотрим простой маятник — шарик, подвешенный на длинной прочной нити. Такой маятник называется физическим.

Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Если масса нити во много раз меньше массы шарика, то массой нити также можно пренебречь. В этом случае мы получаем модель маятника, которая называется математическим маятником.

Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной L в поле силы тяжести (или других сил).

Галилео Галилей экспериментально установил, что период колебаний математического маятника в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения). Он установил также, что период колебаний прямо пропорционален L.

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

T=2πLg.

При углах отклонения математического маятника α<200 погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.

В общем случае, когда маятник находится в однородных полях нескольких сил, то для определения периода колебаний следует ввести «эффективное ускорение» g∗, характеризующее результирующее действие этих полей, и период колебаний маятника будет определяться по формуле

T=2πLg∗.

Затухающие колебания − колебания, при которых амплитуда колебаний уменьшается с течением времени, что обусловлено потерей энергии колебательной системы.

Свободные колебания всегда являются затухающими. Потеря энергии связана с трением и сопротивлением окружающей среды. Чем больше сила сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания. Например, в воде колебания прекращаются быстрее, чем в воздухе.

Вынужденные колебания − колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Эта сила будет называться вынуждающей силой, а колебания будут незатухающие. Самый яркий пример вынужденных колебаний − качели.

Любые собственные колебания в реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически.

Мы никогда не сможем раскачать качели, если будем действовать на них с постоянной по модулю и направлению силой. Внешняя сила тоже должна быть периодической.

Эксперименты показывают, что частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.

Особый интерес для таких колебаний представляет явление резонанса − резкого увеличения амплитуды установившихся колебаний. Резонанс происходит, если частота изменения вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний в системе. При резонансе создаются оптимальные условия для передачи энергии от внешнего источника в систему, так как в течение всего периода работа внешней силы источника над системой положительна.

Вспомните процесс раскачивания на качелях: если это делать очень быстро или очень медленно, качели практически невозможно будет раскачать. Если же подобрать частоту толчков, близкую к частоте собственных колебаний качелей, то раскачивание будет эффективным.

Волны

Колебательный процесс, распространяющийся в упругих средах, называется волновым. По направлению колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волнового процесса различают продольные и поперечные волны.

Основные характеристики волнового процесса:

период T − минимальный интервал времени, через который характер движения частиц среды повторяется;
длина волны λ − расстояние, на которое успевает распространиться волна за один период;
скорость распространения волны V.

Связь между этими величинами выражается так:

λ=V⋅T=Vν,

где ν − частота, ν=1T, [ν]=Гц.