Понятие предела последовательности

Тема. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения и составить конспект.

2. Изучить видео урок и составить конспект.

3. Решить примеры.

Понятие предела последовательности.

Рассмотрим последовательность :

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Разберём его смысл:

Изобразим на числовой прямой члены последовательности и симметричную относительно нуля (предела) -окрестность:

Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность тоже бесконечно мала: с той разницей, что её члены приближаются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой.

Последовательности являются бесконечно большими, поскольку их члены продвигаются к «плюс бесконечности»:

Арифметическая прогрессия с первым членом и шагом тоже бесконечно велика:

Заметим, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

Например, :

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, бесконечно мала:

Если знаменатель геометрической прогрессии , то последовательность бесконечно велика:

Если же , например, , то предела вообще не существует, так как члены стремятся то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности».

В этой неопределенности «виноват» коэффициент .

Действительно, для последовательности легко подобрать -окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела не существует.