2020-06-08
89ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ
Академия архитектуры и искусств, 2 семестр,2019-2020 уч. год
Направление обучения: Архитектура
1. Программа экзамена. 1
2. Литература. 2
3. Примеры тестовых вопросов. 2
4. Примеры теоретических задач. 3
1. Программа экзамена [1]
1. Понятие вектора, его модуля. Нулевой вектор, единичный вектор. Коллинеарные и компланарные вектора.
2. «Геометрическая арифметика» векторов. Сонаправленные, противоположнонаправленные, равные вектора
- Понятие декартовой прямоугольной системы координат в пространстве. Орты. Координаты вектора. Разложение вектора по ортам (уметь выписать координаты вектора по его разложению и записать разложение, зная координаты)
- Нахождение модуля (длины) вектора по его координатам. Направляющие косинусы вектора. Нахождение координат вектора по координатам его начала и конца.
5. Координаты суммы, разности векторов, произведения вектора на скаляр. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме.
- Свойства операций с векторами.
7. Координаты середины отрезка, деление отрезка в заданном отношении.
|
|
|
8. Понятие скалярного произведения двух векторов (в координатной форме и через длины векторов). Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
9. Свойства скалярного произведения. Понятие скалярного квадрата вектора, его свойство..
10. Понятие проекции вектора на ось, свойства. Формула для вычисления проекции вектора.
11. Правая тройка и векторное произведение.
12. Свойства (уметь их использовать).
13. Вычисление площадей параллелограммов и треугольников.
14. Прямая на плоскости. Уравнение прямой в общем виде; с угловым коффициентом; в отрезках. Уравнения прямых, параллельных осям координат. (Знать смысл параметров в уравнении, уметь перейти от одного вида уравнения к другому)
15. Точка пересечения прямых на плоскости (уметь найти)
16. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности, перпендикулярности прямых (через угловые коэффициенты).
17. Составление уравнений прямых на плоскости (прямой, проходящей через точку и имеющей заданный угловой коэффициент; прямой, проходящей через точку параллельно или перпендикулярно заданной прямой; прямой, проходящей через две точки).
18. Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола: для всех – знать уравнения и графики, уметь определить, какая кривая задана; для эллипса и параболы – знать характеритическое свойство, уметь найти фокусы и эксцентриситет, для параболы – знать характеристическое свойство, уметь определить фокус и уравнение директрисы, уметь преобразовать квадратный трехчлен к каноническому виду).
|
|
|
19. Общее уравнение плоскости. Общее уравнение прямой в пространстве.
20. Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве: смысл параметров, переход от параметрического уравнения к общему и наоборот. Уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
21. Угол между прямыми в пространстве, угол между плоскостями.
22. Расстояние от точки до плоскости (в пространстве), расстояние между параллельными плоскостями
23. Расстояние от точки до прямой (на плоскости), расстояние между параллельными прямыми
24. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
25. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору.
26. Первоообразная и неопределенный интеграл, связь между ними.
27. Свойства неопределенного интеграла (связь между интегрированием и дифференцированием, линейность, независимость интеграла от переменной интегрирования.
28. Таблица интегралов
29. Замена переменной в неопределенном интеграле.
30. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
31. Интегральная сумма, определенный интеграл.
32. Интегрируемые функции, три теоремы об интегрируемых функциях.
33. Основные свойства определенного интеграла
34. Монотонность и интеграл от модуля
35. Теорема о среднем для определенного интеграла
36. Интеграл с переменным верхним пределом, две теоремы. Формула Ньютона-Лейбница.
37. Понятие криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла.
38. Нахождение площадей плоских фигур
39. Вычисление объема тел вращения.
Литература
1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. М.: Астрель-АСТ, 2008. (и любое другое издание).
2. Материалы лекций.
Примеры тестовых вопросов
К указанию выбранного ответа там, где указано, обязательно должны прилагаться вычисления
| Расстояние между точками | a)  b) 
c)  d) 
| |
|
Для прямой, заданной параметрическим уравнением | a) направляющий вектор  , на прямой лежит точка A(2;0;4)
b) направляющий вектор  , на прямой лежит точкаA(2;0;4)
c) направляющий вектор , на прямой лежит точка A(2;1;4)
d) направляющий вектор , на прямой лежит точка A (-3;1;5)
| |
| Прямые 1+2y+x=0, 2x-y-3=0 (обосновать) | a) параллельны b) пересекаются под углом 45о c) перпендикулярны d) совпадают | |
| Уравнение | а) параболы б) окружности в) гиперболы г) эллипса | |
 
| Площадь заштрихованной фигуры определяется формулой А) | |
| Пусть F(x) и G(x)– первообразные функции f(x). Какое из равенств ошибочно (С – любое число)? | A) C) | |
| Какое из равенств ошибочно? | А) С) | |
, справедливы утверждения:
является уравнением
Б) 
С) 
B) 
D) 
В) 
В) 
4. Примеры теоретических задач [2]
- Проверьте, являются ли вектора (-2;3;1), (4;-6;2), (-1;3/2;1/3) коллинеарными.
- Зная точку В(4;1;5) и вектор
, найдите координаты точки С. - Найдите векторное и скалярное произведения векторов (-2;3;1) и (4;-6;2).
- Проверьте ортогональность векторов (-2;3;1) и (1;-2;8).
- Используя свойства векторного произведения, раскрыть скобки и упростить выражение
(*) - Доказать, что точки А(-4;3), В(-5;0), С(5,6) и D(1;0) являются вершинами трапеции и найти ее высоту (или площадь). (*)
- Преобразуйте уравнение кривой
к каноническом у виду, найдите координаты фокусов
ЗАДАЧИ из индивидуального задания (векторы)
ЗАДАЧИ из лекций 3-4 (геометрия)
- Найти площадь заданной геометрической фигуры
- Сформулировать теорему об интегрировании по частям и найти с ее помощью интегралы типа
, 
, 
, 
- С помощью замены переменной найти интегралы типа
, 
- С помощью свойств линейности и табличных интегралов найти определенные и неопределенные интегралы типа
, 
.
|
|
|
[1] В билет включаются тестовые вопросы, проверяющие понимание выученных определений и теорем, и задачи, проверяющие умение использовать теоретические навыки на практике.
[2] Задачи повышенного уровня сложности отмечены (*)
