Диофантов уравнения второго порядка

Итак,  кратно 23,если  

3. Если  то из уравнения (2) или уравнения (1) находим у:

Итак, частным решением уравнения (1) является пара .

Ответ. .

3. Решите в целых числах уравнение

Решение. Уравнение (1) имеет решение в целых числах, так как коэффициенты при х и у взаимно простые числа.

1. Пусть , где , частное решение уравнения (1).

Так как  решение уравнения , то  

Из уравнения  вычтем  и получим:

Так как 7 и 8 взаимно простые числа, то из уравнения (2) следует,

 что  делится на 7. Тогда существует целое число  такое, что  Из уравнения (2) находим:

Итак, где – любое частное решение, t – любое целое число.

2. Найдём частное решение  уравнения (1).

Преобразуем уравнение (1):

Так как левая часть уравнения (2) кратна 7, то уравнение имеет решение, если и правая уравнения (2) кратна 7. Правая часть уравнения (2) кратна 7, например, если  Если  то из уравнения (2) находим, что   Итак, частным решением уравнения (1) является пара

3. Так как где  то общим решением уравнения (1) является пара  где  

Ответ.  где .

4. Решите в целых числах уравнение

Решение. Уравнение имеет решение в целых числах, так как коэффициенты при х и у взаимно простые числа.

1. Преобразуем исходное уравнение (выразим х через у)

Число х является целым числом, если  целое число. Число  является целым, если  кратно 23.

2. Преобразуем:

 где

Найдём значение  при котором  делятся на 23.

Число  делится на 23, например, если  Тогда

Так как  то из уравнения (1) имеем

Число х является целым числом, если существует число  такое, что  

Если то из уравнения (2) находим:  где .

3. Таким образом, общим решением исходного уравнения является пара  где .

 Ответ.  где .

5. Докажите, что уравнение  имеет решения в целых числах, а уравнение  не имеет решений в целых числах. Найдите частное решение уравнения (1).

Решение. 1. Разложим на множители числа:

а) Так как числа   имеют общий множитель, равный 31, то обе части уравнения (1) разделим на 31 и получим уравнение   равносильное исходному уравнению. Уравнение (3), а значит и уравнение (1), имеет решение в целых числах, так коэффициенты в уравнении (3) при х и у взаимно простые числа.

б)  Найдём частное решение  уравнения (1).

Преобразуем уравнение (1) (выразим у через х)

    Уравнение (4), а значит и уравнение (1), имеет решение в целых числах, если  Если  то из уравнения (4) находим: что  Итак, частным решением уравнения (1) является пара чисел  

2. Разложим на множители числа:

В уравнении (2) коэффициенты при х и у имеют общий множитель, равный 37, но свободный член не делится на 37. Тогда, если обе части уравнения (2) разделим на 37, то в полученном уравнении коэффициенты при х и у будут взаимно простыми числами, а свободный член не является целым числом. Поэтому уравнение (2) не имеет решений в целых числах.

Ответ.

6. Найдите наименьшее положительное целое решение уравнения

Решение. Разложим на множители:

Уравнение (1)  имеет решение в целых числах, так как коэффициенты при х и у взаимно простые числа.

Преобразуем уравнение (1) (выразим х через у)

Число х является целым, если  кратно 1969, то есть если существует число  такое, что  

Из (3)  следует:   у принимает наименьшее положительное значение, равное 2, если  

Если  то из уравнения (2) находим, что  

Пара  является наименьшим решением уравнения (2), а значит и уравнения (1), так как, если  то из уравнения (2) следует, что  кратно 1969, если

Ответ.

7. Найдите все целые решения уравнения  которые удовлетворяют условиям  и

Решение. Уравнение имеет решение в целых числах, так как коэффициенты при х и у взаимно простые числа.

1. Найдём общее решение исходного уравнения.

а) Преобразуем уравнение (выразим у через х)

Так как  то у является целым числом, если существует число  такое, что  

Если  то из уравнения (1) находим:  где .

Таким образом, общим решением исходного уравнения является пара  где .

2. Так как  и  где , то

Так как , то решениями последней системы являются

Так как  и то искомыми решениями исходного уравнения являются пары

Ответ.

8. Найдите все целые решения уравнения  которые удовлетворяют условиям  и

Решение. Уравнение имеет решение в целых числах, так как коэффициенты при х и у взаимно простые числа.

1. Найдём общее решение исходного уравнения.

Преобразуем уравнение (выразим х через у)

Так как  то х является целым числом, если существует число  такое, что  где .

Если  то из уравнения (1) находим:   где .

Таким образом, общим решением исходного уравнения является пара  где .

2. Так как  где , то

Так как , то

3. Найдём решения системы (2).

а) Найдём корни уравнения :

Так как  корни уравнения  то решениями неравенства  являются

б) Найдём корни уравнения :

Так как  корни уравнения , то решениями неравенства  являются

в) Решениями системы (2) являются

г) Так как , из того, что  следует, что

4. Найдём решения уравнения (1), если  где

Если  то      если  то

если  то         если  то

Итак, искомыми решениями уравнения  являются пары

Ответ.

9. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

Решение. Уравнение (1) имеет решение в натуральных числах, так как коэффициенты при х и у взаимно простые числа.

1. Оценим натуральное число у. Так как натуральное число, то  Тогда

2. Преобразуем уравнение (1) (выразим х через у)

Так как натуральные числа и 126 не кратно 23, то число  является целым, если  кратно 23. Так как , то  кратно 23, если  или

3. Из уравнения (2) следует: если  то  если  то

Ответ.

10. Найдите все целые решения уравнения

Решение. Найдём общее решение исходного уравнения.

Преобразуем уравнение (выразим х через у и z)

Пусть  где . Тогда уравнение (1) принимает вид

Так как  то у является целым числом, если существует число  такое, что  где  Тогда из уравнения (2) находим

Таким образом, общим решением исходного уравнения является тройка чисел .  где

Ответ.  где

11. Найдите всевозможные числа , которые удовлетворяют условию

Решение. Отметим: так как  цифры числа, то

1. Имеем

а) Рассмотрим уравнение (1) (выразим у через х и z)

    Так как  то у является целым числом, если существует число  такое,  

Из уравнения (2) находим, что

б) Оценим , если  

Так как , то из двойного неравенства (3) следует, что

2. Найдём числа , если , где  

а) Если  то  Оценим х.

Так как  и  то

б) Если  то  Оценим х.

Так как  то из последней системы следует, что

Так как  и  то  

Ответ.

12. Найдите всевозможные трёхзначные числа, которые при делении на 27 даёт остаток, равный 4, при делении на 24 даёт остаток, равный 7, а при делении на 162 имеет одинаковый остаток.

 Решение. 1. По условию задачи каждое искомое трёхзначное число х может быть представлено в виде  где  

Тогда

2. Найдём общее решение уравнения

а) Преобразуем уравнение (выразим n через m)

Так как  то  является целым числом, если существует число  такое, что  

Отметим: так как надо найти число х, то  можно не находить.

б) Если , то из (1) находим, что

Таким образом, общим решением исходного уравнения является пара где

3. Найдём трёхзначные числа  где  которые при делении на 162 имеет одинаковый остаток.

а) Так как  где  и  то

 где  

б) Оценим  

Так как  трёхзначное число и  то

Так как  то

4. Найдём трёхзначные числа  где   которые при делении на 162 имеет одинаковый остаток.

 Если  то

 если  то

 если  то

 если  то

Числа  и   при делении на 162 имеют одинаковый остаток, равный 85.

Ответ.  и .

13. Найдите минимальное значение, на которое отличаются друг от друга натуральные числа   и  если дробь  является простым числом.

Решение. Так как  то исходная дробь является простым числом, если

Так как  то т является натуральным числом, если существует число  такое, что  

1) Если  то из первого уравнения совокупности (1) находим, что . Тогда общим решением уравнения  является пара  где  

Если  то  где  Так как  то  принимает минимальное значение, равное 3.

2) Если  то из второго уравнения совокупности (1) находим, что  Тогда общим решением уравнения  является пара  где  Если  то  где

Так как  то  принимает минимальное значение, равное 13.

 Из 1) и 2) следует: минимальное значение, на которое отличаются друг от друга натуральные числа   и  равно 3.

Ответ. 3.

Диофантов уравнения второго порядка

Диофантовым уравнением второго порядка с двумя неизвестными называется уравнение  где

 и хотя бы одно из чисел  отлично от нуля.

Упорядоченная пара  называется решением уравнения  если  удовлетворяют уравнению.

Решить уравнение в целых (натуральных) числах – это значит найти все целые (натуральные) решения или показать, что уравнение не имеет решений в целых числах.

1. Уравнения вида  где

 и хотя бы одно из чисел  отлично от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (1) в целых (натуральных) числах поступают следующим образом.

Уравнение (1) рассматриваем как квадратное относительно какой-нибудь переменной, например х, с параметром у.

Находим дискриминант  

1. Если дискриминант и является полным квадратом, то находим корни квадратного уравнения, а затем находим целые значения у, при которых  и  являются целыми числами.

2. Если дискриминант и  где  то возможны следующие случаи.

1) Пусть Если коэффициент при  является полным квадратом, равным  и коэффициент при  кратный 2 т, то записываем уравнение в виде

 где

Рассматриваем многочлен , где  как квадратный трёхчлен относительно какой-нибудь переменной, например х, с параметром у.

а) Находим дискриминант  и выбираем d таким, чтобы  был полным квадратом.

б) Находим корни квадратного трёхчлена  и

уравнение (2) принимает вид

Замечание. Если  корни квадратного трехчлена

, где  то , где

Так как надо решить уравнение (3) в целых (натуральных) числах, то  целые (натуральные) числа. Поэтому, представляем  в виде  где  всевозможные целые (натуральные) числа. Для каждой пары  решаем в целых (натуральных) числах совокупность систем

2) Пусть  Если коэффициент при  положительное число, решается одна из двух задач.

а) Доказать, что уравнение не имеет решение в целых (натуральных) числах. В этом случаи используется делимость целых чисел.

б) Доказать, что уравнение имеет решение в целых (натуральных) числах. Чтобы решить эту задачу, надо найти хотя бы одно решение в целых (натуральных) числах уравнения.

3) Пусть  Если коэффициент при  отрицательное число, то находим значения у, при которых  а затем перебором находим значения у, при которых  является полным квадратом.

4) Пусть  Если коэффициент при  равен нулю, то для нахождения значения у, при которых дискриминант является полным квадратом, используется делимость целых чисел.

3. Если  то уравнение не имеет решений.

14. Найдите все целые решения уравнения

Решение. 1. Перепишем уравнение (1) как квадратное относительно х:

а) Найдём дискриминант  квадратного уравнения (2):

Итак,  

б) Найдём ,  корни квадратного уравнения (2).

2. Найдём целые значения у, при которых  и  являются целыми числами.

а) Число  является целым числом, если  кратно 3.

Преобразуем:

Если  где , то  кратно 3.

Итак, если то , где .

Таким образом, решением исходного уравнения является пара  где .

б) Число  является целым числом, если  кратно 2. Так как  нечётное число, то оно ни при каких целых значениях у не будет кратным 2.

Ответ.  где .

15. Найдите все целые решения уравнения

Решение. 1. Записываем уравнение (1) в виде:

Рассматривается многочлен

как квадратный трёхчлен

 относительно х.

а) Найдём дискриминант  квадратного трёхчлена:

Очевидно, полный квадрат, если  

Таким образом, получили, если  то  и

б) Найдём ,  корни квадратного трёхчлена:

в) Найдём разложение квадратного трёхчлена на множители:

Так как  то при любых , уравнение (1) равносильно уравнению 

2. Так как  то целые числа. Представляем число 20 в виде  

Для каждой пары :

решаем в целых числах систему уравнений

Система (4) может иметь решение в целых числах, если  кратно 5. Легко проверить, что условие  кратно 5 выполняется только для пар

3. Найдём решение системы (4), если

а) Если  то  

Из первого уравнения системы (4) находим, если то  уравнение не имеет решений в целых числах.

 б) Если  то  

Из первого уравнения системы (4) находим, если  то  

Так как  то решением системы (4), а значит и уравнения (1), является пара

Ответ.  

16. Докажите,что уравнение  имеет решения в целых числах.

Решение. Чтобы решить эту задачу, надо найти хотя бы одно решение уравнения в целых числах.

1. Перепишем уравнение (1) как квадратное относительно у:

а) Найдём дискриминант  уравнения (2):

Представим, например,  в виде

Очевидно, если  то полный квадрат. Итак, если  то полный квадрат.

2. Найдём решение уравнения(1), если  

а) Если  то уравнение (1) принимает вид

Итак, если  то  или  Тогда решениями уравнения (1) являются пары

б) Если  то уравнение (1) принимает вид

Итак, если  то  или  Тогда решениями уравнения (1) являются пары

Уравнение (1) имеет решение в целых числах. Найдено четыре целых решения уравнения.

Отметим: Можно было найти только одно решение уравнения (1).

Ответ. Уравнение имеет решение в целых числах.

17. Решите уравнение  в целых числах.

Решение. 1. Рассмотрим уравнение (1) как квадратное относительно х.

а) Найдём дискриминант  уравнения (1):

Уравнение (1) может иметь решение в целых числах, если  является полным квадратом. Число  является полным квадратом, если существует число такое, что  Уравнение (2) может иметь решение, если  кратно 11.

Пусть  где