2020-06-10
171
3.1. Ante Rem Structuralism. Шапиро проводит полезное различие между алгебраическими и неалгебраическими математическими теориями [11, с. 38]. Грубо говоря, неалгебраические теории - это теории, которые на первый взгляд кажутся уникальными: предполагаемая модель теории. Мы видели примеры таких теорий: арифметика, математический анализ и др. Алгебраические теории, напротив, не несут претензий prima facie об уникальной модели. Примерами являются теория групп, топология, теория графов и др.
Задача Бенацеррафа может быть установлена для объектов, которые описываются неалгебраическими теориями. Но его задача не относится к алгебраическим теориям. Алгебраические теории не интересуются математическими объектами как таковыми; они заинтересованы в структурных аспектах математических объектов. Это привело Бенацерафа к размышлениям о том, нельзя ли сказать то же самое о неалгебраических теориях. Возможно, урок, который следует извлечь из проблемы идентификации Бенацеррафа, состоит в том, что даже арифметика не описывает конкретные математические объекты, а вместо этого описывает только структурные отношения?
Шапиро и Резник считают, что все математические теории, даже неалгебраические, описывают структуры. Эта позиция известна как структурализм [9, с. 140]. Структуры состоят из мест, которые находятся в структурных отношениях друг с другом. Таким образом, производные математические теории описывают места или позиции в структурах. Но они не описывают объекты. Например, число три в этом представлении будет не объектом, а местом в структуре натуральных чисел.
Системы являются экземплярами структур. Системы, которые создают структуру, описываемую неалгебраической теорией, изоморфны друг другу и, следовательно, для целей теории одинаково хороши. Системы I и II, которые были описаны в разделе 4.1, могут рассматриваться как экземпляры структуры натуральных чисел. {{{∅}}} и {∅, {∅}, {∅, {∅}}} одинаково подходят для исполнения роли числа три. Но и номер три. Поскольку число три является открытым местом в структуре натуральных чисел, и это открытое место не имеет никакой внутренней структуры. Системы обычно содержат структурные свойства сверх тех, которые имеют отношение к структурам, для создания которых они предназначены.
3.2. Математика без абстрактных сущностей. Гудман и Куайн с самого начала попытались укусить пулю: они начали проект по переформулированию теорий естествознания без использования абстрактных сущностей [2, с. 187]. Номиналистическая реконструкция научных теорий оказалась сложной задачей. Куайн, например, оставил его после этой первоначальной попытки. В последние десятилетия было предложено много теорий, призванных дать номиналистическую реконструкцию математики [12, с. 522]. содержит хорошее критическое обсуждение таких взглядов.
В номинальной реконструкции математики конкретные сущности должны будут играть ту роль, которую абстрактные сущности играют в платонистических объяснениях математики, а конкретные отношения (такие как отношение части-целого) должны использоваться для моделирования математических отношений между математическими объектами. Но здесь возникают проблемы. Во-первых, уже Гильберт заметил, что, учитывая дискретизацию природы в квантовой механике, естественные науки могут, в конце концов, утверждать, что существует только конечное число конкретных сущностей [1, с. 86]. Все же кажется, что нам нужно было бы бесконечно много из них, чтобы играть роль натуральных чисел - не говоря уже о реальных числах. Где номиналист находит необходимую коллекцию конкретных объектов? Во-вторых, даже если предполагается существование бесконечного числа конкретных объектов, неясно, что даже элементарные математические теории, такие как примитивно-рекурсивная арифметика, могут быть «смоделированы» с помощью номиналистических отношений [6, с. 95].
Филд сделал серьезную попытку провести номиналистическую реконструкцию ньютоновской механики [5, с. 112]. Основная идея заключается в следующем. Филд хотел использовать конкретные суррогаты действительных чисел и функции на них. Он принял реалистическую позицию по отношению к пространственному континууму и принял области пространства такими же физически реальными, как стулья и столы. И он взял области пространства за бетон (в конце концов, они пространственно расположены). Если мы также посчитаем очень несвязные, то будет столько областей ньютоновского пространства, сколько есть подмножеств действительных чисел. И тогда есть достаточно конкретных сущностей, чтобы играть роль натуральных чисел, действительных чисел и функций на действительных числах. А теория действительных чисел и функций на них - это все, что нужно для формулировки ньютоновской механики. Конечно, было бы еще интереснее иметь номиналистическую реконструкцию действительно современной научной теории, такой как Квантовая Механика. Но, учитывая, что проект может быть реализован для ньютоновской механики, некоторая степень первоначального оптимизма кажется оправданной.
Этот проект явно имеет свои ограничения. Скажем, номинально можно интерпретировать теории функциональных пространств на действительные числа. Но кажется неправдоподобным думать, что по линиям Поляна можно найти номиналистическую интерпретацию теории множеств. Тем не менее, если он будет успешным в своих рамках, тогда программа Филда действительно чего-то добилась. Ибо это будет означать, что, по крайней мере, до некоторой степени математические объекты кажутся необязательными в конце концов. Тем самым он сделал бы важный шаг в направлении подрыва необходимого аргумента для скромного платонизма Куайна в математике, поскольку в некоторой степени математические объекты кажутся необязательными в конце концов.
Стратегия Филда имеет шанс на успех только в том случае, если опасения Гильберта о том, что в самых фундаментальных смыслах наши лучшие научные теории могут привести к тому, что существует только конечное число конкретных сущностей, являются необоснованными. Если кто-то сочувствует озабоченности Гильберта, но не верит в существование абстрактных сущностей, то можно укусить пулю и утверждать, что существует только конечное число математических сущностей, что противоречит основным принципам элементарной арифметики. Это приводит к позиции, которая была названа ультрафинитизмом [13, с.166].
3.3. Ребусский структурализм. Физическая интерпретация Филдом арифметики и анализа не только подрывает аргумент об обязательности Куайн-Путнэма. Это также частично дает ответ на эпистемологическую проблему Бенацеррафа. По общему признанию, это не простая задача, чтобы объяснить, как люди получают знания об областях пространства-времени. Но, по крайней мере, по мнению многих (но не всех) философов, области пространства-времени физически реальны. Поэтому нам больше не нужно объяснять, как математики из плоти и крови поддерживают контакт с нефизическими сущностями. Но проблема идентификации Benacerraf остается.
В ответ на проблему идентификации кажется привлекательным сочетать структурный подход с номинализмом Филда. Это приводит к версиям номиналистического структурализма, которые можно изложить следующим образом. Давайте сосредоточимся на математическом анализе. Номиналистский структуралист отрицает, что любая конкретная физическая система является уникальной предполагаемой интерпретацией анализа. Все конкретные физические системы, которые удовлетворяют основным принципам реального анализа (РА), будут одинаково хорошо работать. Таким образом, содержание предложения ϕ языка анализа (примерно) определяется как:
Каждая конкретная система S, которая делает RA истинным, также делает ϕ правда.
Это влечет за собой то, что, как и в случае с предшествующим структурализмом, только структурные аспекты имеют отношение к истинности или ложности математических утверждений. Но в отличие от ante rem структурализма, никакая абстрактная структура не постулируется выше и вне конкретных систем.
Согласно структурализму ребуса, не существует никаких абстрактных структур сверх систем, которые их создают; структуры существуют только в системах, которые их создают. По этой причине номиналист в ребус-структурализме иногда описывается как «структурализм без структур». Номиналистский структурализм является одной из форм ребус-структурализма. Но в ребусе структурализм не исчерпывается номиналистским структурализмом. Даже версия платонизма, в которой математика относится к структурам в теоретико-множественном смысле этого слова, может рассматриваться как форма ребус-структурализма.
3.4. Вымышленность. В соответствии с предыдущими предложениями утверждения обычной математики верны, когда они надлежащим образом, то есть номинально интерпретированы. Номиналистический отчет по математике, который теперь будет обсуждаться, гласит, что все экзистенциальные математические утверждения ложны просто потому, что нет математических объектов. (По той же причине все универсальные математические утверждения будут тривиально верны.)
Художественная литература считает, что математические теории похожи на фантастические истории, такие как сказки и романы. Математические теории описывают вымышленные сущности так же, как литературные вымыски описывают вымышленных персонажей. Эта позиция была впервые сформулирована во вводной главе, и в последние годы набирает популярность.
Это грубое описание вымышленной позиции сразу же ставит вопрос о том, что за сущности являются вымышленными сущностями. Это представляется глубокой метафизической онтологической проблемой. Один из способов полностью избежать этого вопроса - отрицать существование вымышленных сущностей. Математические теории следует рассматривать как приглашение участвовать в играх с притворством, в которых мы действуем так, как будто существуют определенные математические объекты. Притворные или вымышленные операторы защищают свои пропозициональные объекты от экзистенциального экспорта.
Во всяком случае, как сказано выше, с точки зрения вымысла, математическая теория не является буквально верной. Тем не менее, математика используется для разъяснения правды. Таким образом, мы должны вычесть что-то из того, что буквально сказано, когда мы утверждаем физическую теорию, которая включает в себя математику, если мы хотим понять истину. Но это требует теории о том, как работает это вычитание контента. Такая теория была разработана в [1, с. 102].
Если фикционалистский тезис верен, то одно требование, которое должно быть наложено на математические теории, - это непротиворечивость. Тем не менее, Филд добавляет к этому второе требование: математика должна быть консервативной по отношению к естествознанию. Это примерно означает, что всякий раз, когда утверждение эмпирической теории может быть получено с использованием математики, оно в принципе также может быть получено без использования каких-либо математических теорий. Если бы это было не так, то аргумент незаменимости можно было бы разыграть против выдумки. Например, является ли математика консервативной по отношению к физике, в настоящее время является предметом споров. Шапиро сформулировал аргумент о неполноте, который намеревается опровергнуть претензии Филда [8, с. 120].
