2020-06-10
103
Задача 1.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 
процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0 |
Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Решение.
По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0.
Пусть 
, тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
; 
; 
; 
; 
; 
.
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
; 
; 
; 
; 
; .
Общая сумма выплат составляет:
По условию, общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей, значит,
; 
; 
.
Наименьшее целое решение этого неравенства — число 5. Значит, искомое число процентов — 5.
Ответ: 5.
Задача 2.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 
% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите .
Решение.
Пусть сумма кредита составляет 
рублей, а ежегодные выплаты 
рублей, 
. По условию, долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:
, 
, 
, 
, 
.
Таким образом, если долг будет выплачен двумя равными платежами 
, то
.
Если долг будет выплачен четырьмя равными платежами 
, то
.
Таким образом, 
, откуда 
; 
. Значит, 
.
Ответ: 10.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано | 2 |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
| Содержание критерия | Баллы |
Пример 1.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0 |
Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Ответ: 5.
Комментарий.
Модель построена неверно. Если подставить вместо число 3 в таблицу, то сумма долга уже на 1 число второго месяца должна составить 4 млн рублей, кроме того, еще и неравенство решено неверно.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 2.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0 |
Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Ответ: 5.
Комментарий.
Модель построена верно. Усложняет проверку отсутствие вычислений. В таблице все результаты вычислений по формулам, записанным справа, верные. Логика решения верна.
