Лекция: Степень с целым показателем

Степень

Рекомендую видео урок по ссылке https://cknow.ru/knowbase/502-114-stepen-s-celym-pokazatelem.html

Под степенью некоторого числа "а" с некоторым показателем "n" понимают произведение числа "а" само на себя "n" раз.

Когда говорят о степени с целым показателем, это означает, что число "n" должно быть величиной не дробной. Если данный показатель имеет отрицательное значение, то для начала необходимо избавиться от минуса перед показателем степени, а затем производить действия над степенью.

а - основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, n - показатель степени - он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Например:

8⁴ = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число "8", показателем степени считается число "4", под значением степени понимается число "4096".

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание - ЭТО НЕ ВЕРНО!

Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

Например,

(-0,1)³ = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

1. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а¹ = а.

Например,

5¹ = 5.

2. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а⁰ = 1.

Например,

7⁰ = 1.

3. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

aⁿ * a^m = a^n+m.

Например:

5² * 5⁴ = 5⁶.

4. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

aⁿ / a^m = a^n-m.

Например,

5⁴ : 5² = 5².

5. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(aⁿ)^m = a^n*m

Например,

(5⁴ )² = 5⁸.

6. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)^m = a^m * b^m.

Например,

(5 * 8 )² = 5² * 8².

7. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)^m = a^m / b^m

8. Если некоторая дробь имеет отрицательный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.

Например,

Очень важно помнить, что знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.

9. Если Вы возводите отрицательное число в четную степень, то в результате Вы всегда получите положительное число. Если же необходимо возвести отрицательное число в нечетную степень, то результатом данного математического действия будет отрицательное число.

Например,

(-11)² = 121,

(-3)³ = (-27).

Лекция: Корень степени n > 1 и его свойства

Рекомендую видео урок по ссылке https://cknow.ru/knowbase/503-115-koren-stepeni-n-gt-1-i-ego-svoystva.html

Корень

Предположим, Вы имеете уравнение вида:

Решением данного уравнения будет х₁ = 2 и х₂ = (-2). В качестве ответа подходят оба решения, поскольку числа с равными модулями при возведении в четную степень дают одинаковый результат.

Это был простой пример, однако, что мы можем сделать в том случае, если, например,

Давайте попробуем построить график функции y=x². Её графиком является парабола:

На графике необходимо найти точки, которым соответствует значение у = 3. Данными точками является:

Это означает, что данное значение нельзя назвать целым числом, но можно представить в виде корня квадратного.

Любой корень - это иррациональное число. К иррациональным числам относятся корни, непериодические бесконечные дроби.

Квадратный корень - это неотрицательное число "а", подкоренное выражение которого равно данному числу "а" в квадрате.

Например,

То есть в результате мы получим только положительное значение. Однако в качестве решения квадратного уравнения вида

Решением будет х₁ = 4, х₂ = (-4).

Свойства квадратного корня

1. Какое бы значение не принимала величина x, данное выражение верно в любом случае:

2. Сравнение чисел, содержащих квадратный корень. Чтобы сравнить данные числа, необходимо и одно, и второе число внести под знак корня. То число будет больше, чье подкоренное выражение больше.

Вносим число 2 под знак корня

А теперь давайте внесем число 4 под знак корня. В результате этого получим

И только теперь два полученных выражения можно сравнить:

3. Вынесение множителя из под корня.

Если подкоренное выражение может разложиться на два множителя, один из которых можно вынести из под знака корня, то необходимо пользоваться данным правилом.

4. Существует свойство, обратное данному - внесение множителя под корень. Этим свойством мы заведомо воспользовались во втором свойстве:

Корень степени n > 1

Под корнем n-ой степени некоторого числа "a" понимают число, которое при возведении в степень "n" даст число "а".

Иными словами можно сказать, что это решение следующего уравнения:

Например,

Если под корнем некоторой степени стоит степень, то для вынесения данного числа из под знака корня следует показатель степени разделить на степень корня.