Сборник контрольных заданий по математическим дисциплинам для студентов заочной формы обучения инженерно-технических направлений

Сборник контрольных заданий по математическим дисциплинам для студентов заочной формы обучения инженерно-технических направлений

 

 

Брянск 2019
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Брянский государственный инженерно-технологический университет»

 

Кафедра математики

 

 

Утверждены научно-методическим

советом БГИТУ

протокол № 6 oт 31.01.2019 г.

 

 

Сборник контрольных заданий по математическим дисциплинам для студентов заочной формы обучения инженерно-технических направлений

Брянск 2019

 

УДК 51

 

Сборник контрольных заданий по математическим дисциплинам для студентов заочной формы обучения инженерно-технических направлений/ Сост.: Камозина О.В., Козлова О.Н. – Брянск: БГИТУ, 2019. – 23 с.

 

 

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент Евтюхов К.Н.

 

Рекомендованы редакционно-издательской и учебно-методической комиссиями факультета общенаучной подготовки и повышения квалификации БГИТУ.

Протокол № 1 от 31.01.2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ…………..5

Номера контрольных заданий …………………………………………………………………………..7

Контрольные задания……………………………………………………………..8

Литература……………………………………………………………………….21

 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

Перед выполнением контрольных работ студент должен изучить со­ответствующие разделы дисциплины, используя рекомендованную литературу и лекции.

При выполнении контрольных работ надо придерживаться указанных ниже правил.

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради. Допускается выполнение двух контрольных работ в одной тетради.

2. Титульный лист

Пример оформления титульного листа контрольной работы

БГИТУ

Контрольная работа № по математике

Вариант №

студента группы    заочной формы обучения (4 года или 5 лет)

Фамилия Имя Отчество

Шифр (номер зачетной книжки)

Дата       

3. Как выбрать вариант

Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента. Например, если последняя цифра в зачетной книжке 3, то у студента вариант №3, и для контрольной работы №1 он выбирает номера заданий 3, 13, 23, 33, а для контрольной работы №2 – 43, 53, 63. Если последняя цифра 0, то у студента вариант №10, а номера заданий 10, 20 и т.д.

3. В тетради должны быть решены все задачи контрольной работы строго в соответствии со своим вариантом.

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи нужно выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку условия, следует, переписывать условие задачи, а затем данные соответствующего варианта. Например, условие задачи 1 для 1 варианта должно быть переписано так:

1. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(4; 2; 5), А₂(0; 7; 2),      А₃(0; 2; 7),      А₄(1; 5; 0).

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, делая необходимые чертежи.

НОМЕРА КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

 

Лет обучения

1 семестр (экзамен)				2 семестр (зачет)
Номер к.р.	Номер заданий	Номер к.р.	Номер заданий	Номер к.р.	Номер заданий	Номер к.р.		Номер заданий
1	1 - 10	2	41 - 50	3	71 - 80	4		111 - 120
	11 - 20		51 - 60		81 - 90			121 - 130
	21 - 30		61 - 70		91 - 100			131 - 140
	31 - 40				101 - 110			141 - 150
3 семестр (экзамен)				4 семестр (зачет)
Номер к.р.	Номер заданий	Номер к.р.	Номер заданий	Номер к.р.			Номер заданий
5	151 - 160	6	181 - 190	7,8 (САТ) 7 (ПГС, ГСХ, ПСК, АД)			221 вариант выдает преподаватель
	161 - 170		191 - 200
	171 - 180		201 - 210
			211 - 220

 

Года обучения и второе высшее образование

1 семестр (экзамен)				2 семестр (зачет)				3 семестр (зачет)
Но-мер к.р.	Номер заданий	Но-мер к.р.	Номер заданий	Но-мер к.р.	Номер заданий	Но-мер к.р.	Номер заданий	Но-мер к.р.	Номер заданий
1	1 - 10	2	41 - 50	3	91 - 100	4	151 - 160	5	221 вариант выдает преподаватель
	21 - 30		51 - 60		111-120		181 - 190
	31 - 40		61 - 70		131-140		201 - 210
			71 - 80

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1-10. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

1. А₁(4; 2; 5),  А₂(0; 7; 2),      А₃(0; 2; 7),      А₄(1; 5; 0).

2. А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2),             А₃(2; 8; 4),      А₄(9; 6; 4).

3. А₁(4; 6; 5),  А₂(6; 9; 4),      А₃(2; 10; 10),  А₄(7; 5; 9).

4. А₁(3; 5; 4),  А₂(8; 7; 4),      А₃(5; 10; 4),             А₄(4; 7; 8).

5. А₁(10; 6; 6), А₂(-2; 8; 2),     А₃(6; 8; 9),      А₄(7; 10; 3).

6. А₁(1; 8; 2),  А₂(5; 2; 6),      А₃(5; 7; 4),      А₄(4; 10; 9).

7. А₁(6; 6; 5),  А₂(4; 9; 5),      А₃(4; 6; 11),             А₄(6;9;3).

8. А₁(7;2;2),             А₂(5;7;7),        А₃(5;3;1),        А₄(2;3;7).

9. А₁(8;6;4),   А₂(10;5;5),      А₃(5;6;8),        А₄(8;10;7).

10. А₁(7;7;3),  А₂(6;5;8),        А₃(3;5;8),        А₄(8;4;1).

 

11-20. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Сделать чертеж. Найти координаты вершин и фокусов.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

21-30. Дана система линейных уравнений. Решить её тремя способами:

1) по формулам Крамера; 2) матричным методом; 3) методом Гаусса.

21. .  22. .  23. .

24. .  25. . 26. .

27. . 28. . 29. .

30. .

 

31-40. Дано комплексное число Z. Требуется:

1) записать его в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найти все корни уравнения ω³+z=0.

31. .           32. .           33. .

34. .           35. .                36. .

37. .                 38. .                 39. .

40. .

41-50. Найти пределы:

41. а) ;     б) ;

в) ;             г) .

42. а) ;      б) ;

в) ;             г) .

43. a) ;         б) ;

в) ;            г) .

44. а) ;      б) ;

в) ;          г) .

45. а) ;             б) ;

в) ;              г) .

46. а) ;       б) ;

в) ;            г) .

47. а) ;       б) ;

в) ;           г) .

48. а) ;             б) ;

в) ;            г) .

49. а) ;       б) ;

в) ;            г) .

50. а) ;        б) ;

в) ;           г) .

51-60. Найти производные  данных функций.

51. a) ;      б) ;

в) ;                 г) ;

д) .

52. а) ;          б) ;

в) ;                 г) ;

д) .

53. а) ;                                 б) ;

в) ;            г) ;

д) .

54. а) ;            б) ;

в) ;                 г) ;

д) .

55. а) ;                        б) ;

в) ;             г) ;

д) .

56. а) ;                   б) ;

в) ;                  г) ;

д) .

57. а) ;            б) ;

в) ;           г) ;

д) .

58. а) ;        б) ;

в) ;                         г) ;

д) .

59. а) ;            б) ;

в) ;             г) ;

д) .

60. a) ;         б) ;

в) ;                г) ;

д) .

 

61- 70. Исследовать функцию и построить график.

61. .                              66. .

62. .                              67. .

63. .                              68 .

64. .                         69. .

65. .                            70. .

 

71-80. Данную функцию  исследовать на экстремум:

71. .   72. .

73. .  74. .

75. .     76. .

77. .   78. .

79. .   80. .

 

81-90. Даны функция , точка  и вектор .

Найти:

1) ;

2) Производную в точке  по направлению вектора

81. .

82. .

83. .

84. .

85. .

86. .

87. .

88.  

89. .

90. .

 

91-100. Найти неопределенный интеграл. В пунктах б), в) каждого задания проверить результаты дифференцированием.

91. а) ;        б) ;     в) ;

г) ;     д) .

92. а)     б)            в)

г)     д) .

93. а)     б)     в)

г)     д) .

94. а)     б)        в)

г)               д) .

95. а)          б)     в)

г)           д) .

96. а)     б)         в)

г)               д) .

97. а)      б)     в)

г)        д) .

98. а)     б)     в)

г)     д) .

99. а)     б)         в)

г)        д) .

100. а)     б)             в)

г)               д) .

 

101-110. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной линиями.

101. ,     ,       ,     .

102. , .

103.               отсечённой прямой .

104. ,     .

105. ,        .

106. ,        ,              .

107. ,       .

108. ,             .

109. ,     .

110 ,             .

 

111-120. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

111. .     112. .

113. .            114. .

115. .       116. .

117. .      118. .

119. .   120. .

 

121-130. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка.

121. .         122. .

123. .     124. .

125. .       126. .

127. .            128.

129. .     130. .

 

131-140. Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y₀, y'(0)=y¢₀

131. ;      , .

132. ;     , .

133. ;             , .

134. ;         ,  .

135. ;     ,  .

136. ;.   , .

137. ;           ,  .

138. ;                   , .

139. ;                  ,  .

140. ;                  , .

 

141-150. Найти общее решение системы.

141. .             142. .       143. .

144. .        145. .             146. .

147. . 148. .  149. .

150. .

151-160. Исследовать сходимость числового ряда .

151. .                      156. .

152. .                  157. .

153. .            158. .

154. .            159. .

155. .         160. .

161-170. Найти область сходимости степенного ряда .

161. .        166. .

162. .     167. .

163. .                168.

164. .               169. .

165. .        170. .

171-180. Пользуясь основными разложениями, написать разложение в степенной ряд следующих функций:

171.                 172.              173.

174.          175.            176.

177.       178.         179.

180.

181-190. Вычислить вероятности событий, используя классическое определение вероятности или теоремы вероятностей.

181. На десяти одинаковых карточках написаны различные цифры от 1 до 9. Определить вероятность того, что наудачу образованное с помощью данных карточек:

а) двухзначное число делится на 18,

б) трёхзначное число делится на 36,

182. В колоде 36 карт четырёх мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлечённые карты одной масти.

183. Определить вероятность того, что серия наудачу выбранного лотерейного билета не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

184. Из десяти билетов выигрышными являются два. Одновременно приобретаются любые 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них:

а) один выигрышный

б) два выигрышных

в) хотя бы один выигрышный билет.

185. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором - три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

186. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента К или двух элементов К₁ и К₂. Вероятность выхода из строя элемента К равна 0,3, а для каждого из элементов К₁ иК₂ эти вероятности равны 0,2. Определить вероятность разрыва электрической цепи.

187. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20; 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень.

188. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты короля, даму или валета любой масти или карту пиковой масти?

189. В двух урнах находятся одинаковые шары, отличающиеся только цветом, причём в первой урне 5 белых шаров, 11 чёрных и 8 красных; а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

190. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся поставленными вместе.

191-200. Вычислить вероятности событий, пользуясь формулой полной вероятности или формулой Байеса.

191. Для контроля продукции из трёх партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других – все доброкачественные?

192. В тире имеется девять ружей, из которых пристрелянными являются только два. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья 0,8, а из не пристрелянного 0,1. Выстрелом из одного, наудачу взятого, ружья мишень поражена. Определить вероятности того, что взято пристрелянное или не пристрелянное ружьё.

193. Прибор, установленный на борту самолёта, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полёта, и в условиях перегрузки при взлёте и посадке. Крейсерский режим полёта осуществляется в 80% всего времени полёта, условия перегрузки – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полёта в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки 0,4. Вычислить надёжность прибора за время полёта.

194. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7-с вероятностью 0,7; 4-с вероятностью 0,6 и 2-с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

195. В продажу поступают телевизоры трёх заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% со второго завода и 50% с третьего?

196. Попадание случайной точки в любое место области S возможно, а область S состоит из 4-х частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8% всей области. При испытании имело место событие А, которое происходит при попадании случайной точки в каждую из этих частей с вероятностями соответственно 0,01; 0,05; 0,2 и 0,5. В какую из частей области S наиболее вероятно было попадание?

197. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным?

198. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или чёрный. В урну опускается один белый шар, и после перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

199. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворить стандарту, равна 0,96. Предлагается упрощённая система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05.    Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?

200. Вероятности попадания при каждом выстреле для трёх стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трёх стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок?

 

201-210. Дискретная случайная величина X, задана таблицей распределения вероятностей. Найти: а) параметр ; б) интегральную функцию , построить ее график; в) математическое ожидание , дисперсию  и среднее квадратическое отклонение .

201.

Х	–1	0	1	2	3
Р	0,15	0,2	0,3		0,1

202.

Х	–2	1	2	3	5
Р	0,2		0,25	0,1	0,4

203.

Х	–5	-2	1	2	5
Р	0,1	0,05		0,2	0,1

204.

Х	–4	-3	0	2	4
Р		0,3	0,2	0,2	0,15

205.

Х	–2	0	2	4	5
Р	0,2	0,1	0,25		0,3

206.

Х	1	2	3	4	5
Р	0,1		0,3	0,15	0,4

207.

Х	-4	-3	-2	0	1
Р	0,2	0,1		0,4	0,05

208.

Х	-2	1	2	4	5
Р	0,2		0,15	0,1	0,4

209.

Х	-3	-2	-1	0	1
Р	0,1	0,2	0,25	0,3

210.

Х	-5	-3	1	3	5
Р		0,1	0,35	0,4	0,1

210-220. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения . Найти: а) дифференциальную функцию f (x); б) математическое ожидание  и дисперсию , в) построить графики f (x) и .

211..                       212. .

213. .         214. .

215. .           216. .

217. .   218. .

219. .  220. .

221. Дана выборка объемом n =100.

1. По результатам выборки построить вариационный ряд.

2. Представить на рисунке 1 графическое изображение вариационного ряда на миллиметровой бумаге (полигон и гистограмму). Определить графически моду с учетом выбранного масштаба.

3. Составить эмпирическую функцию распределения и на рисунке 2 нарисовать ее график (кумуляту) на миллиметровой бумаге. Определить графически медиану с учетом выбранного масштаба.

4. Вычислить основные выборочные характеристики

- показатели центра распределения (средняя арифметическая, мода, медиана);

- показатели степени рассеяния (дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации);

- показатели формы распределения (коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса).

5. Найти точечные оценки параметров генеральной совокупности.

6. Найти интервальные оценки параметров генеральной совокупности.

7. На основе полученных результатов выдвинуть гипотезу о виде распределения (нормальное распределение).

8. С помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности.

9. Построить теоретическую кривую распределения на рисунке 1 (кривую Гаусса).

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2005. – 479 с.

2. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: учеб. для вузов. - 13-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 238 с.

3. Баранова, И.М. Основы теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие. Ч. 1: Теория вероятностей / Брян. гос. инженер.-технол. акад. – Брянск, 2011. – 139 с.

4. Соболев, А.Б. Математика. Курс лекций для технических вузов: учеб. пособие для вузов по техн. и естеств.-науч. направлениям и специальностям: в 2 кн. Кн. 1. – М.: Академия, 2009. – 409 с.

5. Боровков, А.А. Математическая статистика: учебник. – 4-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2010. – 703 с

6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для втузов / под ред. Н.В. Ефимова. - 17-е изд., стер. – СПб.: Профессия, 2006. – 199 с.

7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов. – 15-е изд. – М.: Изд-во Физ.-мат. лит., 2008. – 336 с.

8. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2007. – 479 с.

9. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов. - 11-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2007. – 404 с.

10. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб. пособие для втузов / под ред. Б.П. Демидовича. – М.; Владимир: Астрель: Изд-во АСТ: ВКТ, 2010. – 495 с.

11. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник. – 13-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2015. – 444 с.

12. Осипов, А.В. Лекции по высшей математике[Текст]: учеб. пособие/ А.В. Осипов – 2-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2014. – 310 с.

13. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т. 1. – Изд. стер. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 415 с..

14. Баранова, И.М. Линейная алгебра: конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров. / И.М. Баранова. – Брянск: РИО БГИТА, 2015. – 33 с.

15. Антоненкова, О.Е. Векторная алгебра: конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров. / О.Е. Антоненкова. – Брянск: РИО БГИТА, 2015. – 41 с.

16. Камозина, О.В. Аналитическая геометрия: конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров. / О.В. Камозина. – Брянск: РИО БГИТА, 2015. – 33 с.

17. Часова, Н.А. Введение в математический анализ: конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров. / Н.А. Часова. – Брянск: РИО БГИТА, 2015. –56 с.

18. Муравьев, А.Н. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров. / А.Н. Муравьев. – Брянск: РИО БГИТА, 2015. – 37 с.

19. Камозина, О.В. Неопределенный интеграл: конспект лекций для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров очной и заочной форм обучения. / О.В. Камозина – Брянск: РИО БГИТУ, 2016. – 29 с.

20. Баранова, И.М., Часова, Н.А. Основы теории вероятностей. Конспект лекций для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров очной и заочной форм обучения / И.М. Баранова, Н.А. Часова. – Брянск: БГИТУ, 2016. – 79 с.

21. Статистическая обработка экспериментальных данных: методические указания к выполнению расчетно-графической работы для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров очной и заочной форм обучения / Брян. гос. инженер.-технол. ун-т.; сост.: И.М. Баранова, Н.А. Часов