Определение производной»

Понятие производной – фундаментальное понятие математического анализа, с помощью которого исследуются процессы и явления в природных, социальных и экономических науках. Изучение разных процессов (механическое движение, химические реакции, расширение жидкости при нагревании и др.) приводят к необходимости вычисления скорости изменения различных величин, т.е., к понятию производной.

Задача 1 Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки.

S=0 t=0

S₁=f(t₀)

Материальная точка М двигается

прямолинейно по закону S=f(t) и в момент времени заняла положение и прошла путь . Найдем скорость точки в момент времени .

Пусть за произвольно выбранный промежуток , начиная с , точка переместилась на расстояние и заняла положение .

Тогда

За промежуток точка проходит путь

Чтобы наиболее точно найти ,

надо тогда

Мгновенной скоростью точки, двигающейся прямолинейно, в момент времени называется предел средней скорости при условии, что .

где - приращение времени,

- приращение пути.

Т.е. прямолинейно двигающейся точки есть предел отношения приращения пути к соответствующему приращению времени , когда .

Задача 2 Касательная к кривой.

M₂

Касательной АТ к графику функции y=f(x) в точке А называется предельное положение секущей АМ, когда точка М, двигаясь по кривой графика y=f(x), приближается к точке А.

Поставим задачу: провести секущую к графику функции y=f(x) в точке А().

Касательная – это прямая с общим уравнением y=kx+b, где k=tg , где - угол между прямой и положительным направлением оси ОХ. Т.е. наша задача сводится к нахождению k.

Пусть в точке А() кривой y=f(x) существует касательная, найдем ее угловой коэффициент k.

y₀+

Для этого: 1. аргументу придадим приращение - получим , и найдем соответствующее значение функции .

2. Найдем отношение Из АМК имеем:

, но - углу наклона секущей АМ к положительному направлению оси ОХ, значит .

3. Если то и М А (двигаясь по кривой ).

Предельным положением секущей МА является касательная АТ, а угла -угол

-угол наклона касательной АТК положительному направления оси ОХ.

Тогда - угловой коэффициент касательной.

Решая обе задачи, поступали по одному и тому же плану:

1) независимой переменной х задавали приращение и находили соответствующее приращение =

2) находили отношение

3) находили

Т.к. такой план приходилось реализовывать неоднократно, и часто его реализация сложна и громоздка, то было введено новое понятие:

Производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

«ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ»

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:

2. ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНЫХ:

1. Производная суммы-разности двух функций:

2. Производная произведения двух функций:

3. Вынесение числового множителя за знак производной:

, где с -число.

4. Производная частного двух функций:

3. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ y = f (g (x)), где y=f (u), u=g (x):

4. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ :

5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО F (x; y)=0:

Для нахождения производной по х функции у дифференцируем обе части равенства F (x; y(х))=0, учитывая, что у зависит от х, т.е., рассматриваем ее как сложную функцию, а затем получившееся равенство разрешаем относительно .

6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ:

, где t – параметр, находится по формуле .

7. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ:

Так как производная функции с одной переменной также является функцией с одной переменной, то от нее также можно находить производную, которую называют производной второго порядка: . Аналогично определяют производные более высоких порядков.

ПРИМЕРЫ. Нахождение производных различных функций.

Пользуясь таблицей производных и теоремами о производных, вычислить производные следующих функций:

Пример 1: Пользуемся теоремами о производной суммы и о вынесении постоянного множителя за знак производной, а затем таблицей производных элементарных функций.

Пример 2: Пользуемся теоремой о производной произведения, а затем таблицей производных элементарных функций.

Пример 3. Пользуемся теоремой о производной частного, а затем таблицей производных элементарных функций.

Пример 4. Сложная функция и ее производная:

Каждая сложная функция представляет собой комбинацию двух, трех и более элементарных функций. Если использованы две функции, то одна из них, y=f (u), называется внешней, а другая, u=g (x), - внутренней функцией. Тогда из формулы производной сложной функции =(f (g (x)))`=f `(g (x)) g`(x) следует, что производную внешней функции надо умножить на производную внутренней функции, причем, при нахождении производной внешней функции используем таблицу производных элементарных функций, учитывая, что вместо аргумента х она содержит функцию.