Показательное распределение

Равномерный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [ a, b ], если ее плотность вероятности f (x) сохраняет постоянное значение на этом отрезке, а вне этого отрезка равна нулю:

Вместо отрезка в определении можно было записать интервал или полуинтервал, так как с.в. непрерывна.

Равномерное распределение с.в. X на промежутке [ a, b ] будем обозначать: X ~ R [ a, b ].

График плотности f (x) для равномерного распределения имеет вид:

f(x)

F(x)

График функции распределения для равномерно распределенной величины представлен на следующем рисунке:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на [ a, b ] равны:

, .

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до целого и др.

СВ равномерно распределённая на [0; 1] называется «случайным числом» от 0 до 1 и служит исходным материалом для моделирования СВ с любым законом распределения.

Показательное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность распределения имеет вид:

где λ >0 – параметр распределения.

График плотности f (x) для показательного распределения имеет вид:

Функция распределения для показательного закона распределения:

Ее график представлен на следующем рисунке:

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b) определяется по формуле: (3.18).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределённой по показательному закону определяются по формулам:

, .

Среднее квадратическое отклонение: , то есть для показательного закона .

Показательное распределение встречается в теории массового обслуживания, физике, теории надежности.

Например, НСВ Т – длительность безотказной работы какого-либо устройства. Функция ее распределения определяет вероятность отказа устройства за время t. Значит, вероятность безотказной работы за время t равна . Функция R (t) называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение с функцией распределения , где . В этом случае функция надежности имеет вид , где λ – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a и σ >0, если ее плотность распределения имеет вид:

Нормальное (гауссовское) распределение с.в. X с параметрами a и σ будем обозначать: X ~ N (a, σ).

Функция распределения НСВ X ~ N (a, σ) имеет вид

Параметры a и σ означают математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение Х.

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (α, β) определяется по формуле: (3.19), где – функция Лапласа. (вычисляется по табл.2).

Кривая плотности нормального распределения имеет вид:

a+σ

a-σ

Важным для характеристики нормально распределенной случайной величины является «Правило трех сигм»:

, то есть отклонение с.в. X от своего математического ожидания меньше, чем на 3 σ – почти достоверное событие. Значит практически достоверно, что с.в. X ~ N (a, σ) принимает свои значения в промежутке (a- 3 σ, a +3 σ).