Критерии оценивания работы

На выполнение работы отводится 240 минут

«5» за 15 заданий;

«4» от 12 до 14 заданий;

«3» от 7 до 11 заданий;

«2» от 0 до 6 заданий.

Решение заданий.

1. Вычислить:

Решение. = - ∙3 + 5= -1+5=4. Ответ: 4

2. Вычислить: 25^-2∙ 5¹⁰: 125²

Решение. 25^-2∙ 5¹⁰: 125²=(5²)^-2∙ 5¹⁰:(5³)²= 5^-4∙ 5¹⁰: 5⁶ = 5^{-4 +10 – 6} =

= 5⁰ = 1 Ответ: 1

(Используем свойства степеней: (a^m)ⁿ= a^{m n}; a^m ∙ aⁿ = a^m+n; a^m: aⁿ =a^m-n)

3. Вычислить:

Решение. = 3, так как )³ = Ответ: 3.

4. Вычислить: а) 2sin 22^o30^' cos22^o30^'; б) cos² 75^o– sin² 75^o

Решение. а). 2sin 22^o30^' cos22^o30^' = sin (2∙ 22^o30^') = sin 45^o =

Ответ:

б). cos² 75^o– sin² 75^o = cos (2∙75^o) = cos 150^o= -

Ответ: -

(Использовались формулы двойного угла:

2sinα ∙ cosα = sin2α; cos²α –sin²α = cos 2α)

5. Решить уравнение: = 6

Решение. = 6, возведём обе части уравнения в квадрат (чтобы «избавиться» от квадратного корня);

² = 6²;

x – 2 = 36;

x = 36 +2;

x = 38.

Проверка при x = 38. = 6;

= 6;

6 = 6 (верно).

Ответ: 38.

6. Решить уравнение: 3^{2х + 1} = 27.

Решение. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3;

3^{2х + 1} = 3³; если равны степени и равны их основания, то равны и показатели этих степеней. Значит,

2x + 1 = 3;

2x = 3 – 1;

2x = 2;

x = 1.

Ответ: 1.

7. Решить уравнение: log ²₃x +3log ₃x – 4 = 0

Решение. ОДЗ (область допустимых значений): x > 0, так как выражения, записанные по знаком логарифма, должны быть положительными.

Введём новую переменную. Пусть log ₃x = y, тогда данное уравнение примет вид:

y² + 3y – 4 = 0. Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант D = или по теореме Виета:

у₁+y₂=-3 y₁= - 4,

у₁∙y₂= -4 y₂ = 1.

Вернёмся к переменной x, выполним подстановку

1). log ₃x = y, log ₃x = -4, x = 3^{- 4} = 1:(3⁴) = 1:81= ;

2). log ₃x = y, log ₃x = 1, x = 3¹ = 3.

Ответ:

8. Решить уравнение:

Решение. ;

cos x =

x = ± arccos +2πn, n Z;

x = ± +2 π n, n Z;

Ответ: ± +2 π n, n Z.

9. ²^x⁺² ≤ 64⁵⁺^x

Решение. Представим левую и правую часть неравенства в виде степеней с основанием 2. (Используем свойства:

= a^-1; (a^m)ⁿ= a^{m n}; a^m ∙ aⁿ = a^m+n; a^m: aⁿ =a^m-n)

2^-(2^x^{+ 2)} ≤ 2⁶^{(5 +}^x⁾; так как основание степени больше единицы, то показательная функция y = 2^t является возрастающей, следовательно знак неравенства при переходе от показательного неравенства к алгебраическому сохраняется, значит:

-(2x + 2) ≤ 6(5 + x);

-2x – 2 ≤ 30 + 6x;

-2x – 6x ≤ 30 + 2;

-8x ≤ 32; (делим обе части неравенство на отрицательное число (-8), при этом знак неравенства меняется на противоположный);

x ≥ -4.

Ответ. [-4; + ∞).

10. log_0,5(2x - 3) < log_0,5(6– x)

Решение. Основание логарифма равно 0,5, значит логарифмическая функция y = log_0,5t убывающей. Значит, при переходе от логарифмического неравенства к алгебраическому знак неравенства меняется на противоположный. Учитываем ОДЗ: выражения, записанные под знаком логарифма, должны быть положительными. Переходим к системе неравенств:

Ответ: (3; 6).

11. Найти производную функции f(x) = x³ +3x² -7 x +24 в точке с абсциссой x₀ = 2.

Решение. f ́(x) = (x³ +3x² -7 x +24)́ = 3x²+ 6x – 7.

f ́(x₀) = f ́(2) = 3∙ 2² + 6∙ 2 – 7 = 3∙4 + 12 – 7 = 17.

Ответ: 17.

12. Найдите точку минимума функции: f(x) = x³ - 15x² +19.

Решение.1) Найдём производную данной функции

f ́(x) = (x³ - 15x² +19)́ = 3x² – 30x;

2). Найдём критические точки функции

f ́(x) = 0, если 3x² – 30x = 0;

3x(x – 10) = 0 ⇒ x = 0 или x = 10;

f ́(x) + - +

3). -----------------------------*------------------------*----------------------àx

f (x) ↗ 0 ↘ 10 ↗

max min

Ответ: x_min =10

13. Вычислить определённый интеграл:

Решение. Будем использовать формулу Ньютона –Лейбница

^b_a = F(b) – F(a).

= (x⁴/4 – 2x²/2)I⁰_-1 = (x⁴/4 –x²)I⁰_-1 =(0 – 0) – (1/4 – 1)= - (-3/4) = 3/4.

Ответ:

14. Задача. Вычислить угол между векторами , если известны координаты точек: А (1; 3; 0), B (2; 3; -1) и C (1; 2; -1).

Решение.1). Найдём координаты векторов (Из координат конца вектора вычитаем координаты начала вектора)

= {1-1; 3 -2; 0-(-1)}= {0;1;1}

={2-1; 3-2;-1-(-1)}= {1;1;0}

2). Найдём скалярное произведение векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат

= 0∙1 + 1∙1 + 1∙0=0+1+0=1

3). Найдём модуль (длину) каждого вектора (модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат)

²= 0²+1²+1²= 0+1+1=2 =

²= 1²+1²+0²= 1+1+0=2 =

4)Найдём косинус угла между векторами (для этого надо скалярное произведение векторов разделить на произведение их модулей)

cos α= = =

5)Получили, что cosα= ⇒ α=60⁰. Ответ: 60⁰

15. Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а стороны основания 3 см и 4 см. Найти объём параллелепипеда.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед, АС₁=13, AB=4, AC=3.

Найти объём V.

Решение.

V= abc = AB∙BC∙CC₁

1).Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AC.

AC²= AB² + BC²= 4² + 3² =16+9=25 ⇒AC =√25 =5

2).Из треугольника ACС₁ по теореме Пифагора найдём CС₁

(CС₁)²= (AC₁)² - AC² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144 ⇒CC₁ =√144 =12

3).Найдём объём V= AB∙BC∙CC₁ = 3∙4∙12 = 144 (куб.ед)

Ответ: 144

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Анализ актива баланса

Правовое положение сословий в Российском государстве в XVIII веке

Калибры, виды и назначение. Контроль параметров макрогеометрии деталей калибрами

Классификация методов обучения

Примеры решения задач. Определите рентабельность продукции по следующим данным: количество выпущенных изделий за квартал - 1 500 штук

Виды деятельности. Существуют различные классификации видов деятельности:

Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть