2020-06-29
73Числовые ряды. Лекция 1
| I. Наводящие рассуждения |
1) Площадь квадрата. Рассмотрим квадрат со стороной 1 и будем разбивать его на части. При этом:
2) 
3)
| II. Основные определения |
Определение Числовым рядом (рядом) называется выражение вида
,
при этом: 
– общий член ряда; 
– частичная сумма ряда.
Если существует и конечен 
, то говорят, что ряд сходится и его сумма равна S, иначе – ряд расходится.
Таким образом, для того, чтобы выяснить, сходится ряд или расходится, нужно:
1) «Оборвать» его на n-ом слагаемом (т.е. получить частичную сумму Sn)
2) Вычислить предел 
Примеры:
1)
2)
3)
4) 
Необходимое условие сходимости ряда
Если 
, то 
Если 
, то 
Примеры:
Обратное утверждение неверно! Т.е. существуют расходящиеся ряды, у которых .
Пример: 
- расходится и при этом 
Свойства сходящихся рядов
1) Если 
, то 
(при любых 
)
Если сгруппировать слагаемые в сходящемся ряде, то полученный ряд тоже будет сходится
В общем случае от перестановки слагаемых сумма ряда может измениться
|
|
|
Пример:
| III. Признаки сходимости рядов |
Ряды с неотрицательными членами
(1) Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами:
Доказательство:
(2) Признаки сравнения
|
| |
 . Тогда:
(1) Если  - сходится, то  сходится;
(2) Если - расходится, то расходится
|  .
В этом случае ряды ведут себя одинаково (сходятся или расходятся одновременно)
|
Пример: 
- расходится по признаку сравнения
Пусть: 
Замечание: Для сравнения удобно использовать обобщённый гармонический ряд
Или геометрический ряд
Когда удобно использовать признаки сравнения?
Когда общий член ряда — дробно-рациональное выражение.
Пример. 
— сходится по признаку сравнения
2) Если удаётся использовать эквивалентные величины.
Примеры. 
3) Наличие чётных степеней синуса или косинуса.
Пример.
(3) Признак Д’Аламбера.
Пусть дан ряд  и 
Тогда:
1) Если l <1, то ряд сходится
2) Если l> 1, то ряд расходится
3) Если l= 1, то ряд требует дополнительного исследования (признак ответа не даёт)
|
Признак Д’Аламбера удобно использовать в тех случаях, когда общий член ряда содержит степени и/или факториалы.
Примеры.
1.
2. 
3. 
(4) Признак Коши (радикальный)
Пусть дан ряд и 
Тогда:
1) Если l <1, то ряд сходится
2) Если l> 1, то ряд расходится
3) Если l= 1, то ряд требует дополнительного исследования (признак ответа не даёт)
|
Признак Коши удобно использовать в тех случаях, когда общий член ряда содержит степени, показатели которых зависят от n.
Пример. 
|
|
|
(5) Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд  и на  определена функция f(x) такая, что:
1) 
2) 
3) 
Тогда ряд  и несобственный интеграл  ведут себя одинаково (сходятся или расходятся одновременно)
|
Примеры.
