Диаграммы Эйлера Вена

1 2

Урок 4-5. Множества

Порядок выполнения работ

1. Сделать конспект, ответив на вопросы:

- что такое множество (рис.1)

- виды множеств

- Диаграммы Эйлера Вена (таблицу в тетрадь)

2. Разобрать решение задач (усто)

3. Решить задачи 1-3. (решение записать в тетрадь)

Тема 4. Множества

Множество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения.

Под "множеством " мы понимаем соединение в некое целое m определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться "элементами" множества m)

Рис 1

Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным.

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими.

Если а — элемент множества а, то записывают а ∈ а (а принадлежит а).

Если а не является элементом множества а, то записывают а ∉ а (а не принадлежит а). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

· Пустое множес тво — множество, не содержащее ни одного элемента.

· Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты.

· Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, в результате операций из исходных множеств получаются новые.

Диаграммы Эйлера Вена

Диаграммы – очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Это геометрические представления множеств.

Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество u, а внутри него – кругов или каких-либо других замкнутых фигур, представляющих множества, входящие в универсальное. Фигуры находятся в определенном положении по отношению друг к другу. В наиболее общем случае они пересекаются. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, обозначают элементы соответствующих множеств.

Все множества на диаграммах обозначаются, как обычно, заглавными буквами латинского алфавита. Построив диаграмму, обычно штрихуют определенные области для обозначения вновь образованных множеств, или выделяют это множество каким-либо другим способом.

Таблицу перенести в тетрадь

Название операции	Обозначение	Изображение	Определение	Символическая запись	Лог. Операции
Пересечение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно а и в		Λ
Объединение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множества или в		V
Разность множеств			Те и только те элементы, которые не принадлежат в
Дополнение к множеству а			Те и только те элементы, которые не принадлежат а (т.е. Дополняют его до универсального u)
Симметрическая разность			Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: а либо в, но не являются общими элементами

Пример 2. Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, немецкий, английский и французский – 3:

А) сколько студентов изучают один английский?

В) один французский?

с) один немецкий?

Рассмотрим решение

Построим диаграммы

Первая вторая третья

Совместим их и получим:

ответ:

А)Только английский изучают 28 – 8 – 10 + 3 = 13.

В) один французский 42 – 5 – 10 + 3= 30.

Г) один немецкий: 30 – 5 – 8 + 3 = 20.

Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600. 600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300 человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

· множество задач по алгебре ("А");

· множество задач по геометрии ("Г");

· множество задач по тригонометрии ("Т").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как "х" (в таблице ниже область №0).

Найдем остальные области:

1) Область А=0, Г=0, Т=1: школьников нет.

2) Область А=0, Г=1, Т=0: школьников нет.

3) Область А=0, Г=1, Т=1: 100 школьников.

4) Область А=1, Г=0, Т=0: школьников нет.

5) Область А=1, Г=0, Т=1: 200 школьников.

6) Область А=1, Г=1, Т=0: 300 школьников.

7) Область А=1, Г=1, Т=1: 300 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№ области	А	Г	Т	Количество школьников
0	0	0	0	х
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.

U=1000.

A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.

x=1000-900=100.

Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.

Задача 3.

На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?

Ответ: 350.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

· множество задач по кинематике ("К");

· множество задач по термодинамике ("Т");

· множество задач по оптике ("О").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию: