2020-06-30
106Практическая работа №18.
Тема: Построение графиков функций с помощью производной.
Цель: научиться строить графики функций, используя их исследование с помощью производной.
Теоретическая часть.
Общая схема исследования функции y=f(x).
- Найти область определения функции D(y);
- Определить чётность(нечётность) функции:
у=f(х) -чётная, если 
у(-х)=у(х) 
график функции симметричен относительно оси Оу;
у=f(х) -нечётная, если у(-х)=-у(х) график функции и симметричен относительно начала координат О(0;0).
у=f(х) -ни чётная, ни нечётная, т.е. общего вида, если у(-х) 
у(х)
- Найти точки пересечения графика функций с осями координат:
а) с осью ОХ: 
б) с осью ОУ: 
- Найти асимптоты графика функции:
а) вертикальные (находим среди точек разрыва)
– вертикальная асимптота 
б) наклонные
- наклонная асимптота 
; 
- Найти период функции, если
Т: 
- Исследовать функцию на монотонность и экстремум:
а) найти 
и критические точки 
, т.е. точки из области определения функции, в которых 
или терпит разрыв;
б) разбить область определения D(y) точками на интервалы и исследовать знак в каждом интервале;
в) сделать вывод о монотонности:
если 
если 
г) сделать вывод об точках экстремума;
– точка max, если меняет знак с «+» на «–» при переходе через точку
– точка min, если меняет знак с «–» на «+» при переходе через точку
д) вычислить значение функции в точках экстремума, т.е. найти 
;
е) составить таблицу:
| х | |
| |
|
- Исследование функции на выпуклость и точки перегиба:
а) найти 
и критические точки 
, т.е. точки из области определения функции, в которых 
или терпит разрыв;
б) разбить область определения D(y) точками на интервалы и исследовать знак в каждом интервале;
в) сделать вывод о выпуклости графика на каждом промежутке:
если 
, то график обращён выпуклостью вверх 
;
если 
, то график обращён выпуклостью вниз 
;
г) определить точки перегиба:
если 
меняет знак при переходе через точку , то –точка перегиба 
д) вычислить значение функции у в точках перегиба, т.е. найти 
;
е) составить таблицу:
| х | |
| |
|
|
- Построить график функции, вычислив, если необходимо, значения в дополнительных точках.
Практическая часть.
Пример 1. Исследовать функцию и построить её график 
Решение.
1. D(y)=R.
2. Исследуем функцию на чётность и нечётность:
Таким образом, 
функция общего вида, симметрии у графика нет.
3. Точки пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: 
б) с осью ОУ: 
, т.е. С(0;-2).
, т.е. А(-1;0), В(2;0)
4. Асимптоты.
а) вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва
б) наклонные асимптоты:
наклонных асимптот нет.
5. Периода нет, т.к. 
Т: 
.
6. Промежутки монотонности.
Найдём 
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых 
=0 или 
критические точки I рода.
Составим и заполним таблицу:
| х | 
| -1 | 
| 1 | 
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| 
| 0 | 
| -4 | 
|
max min
7. Промежутки выпуклости и вогнутости графика функций.
Найдём 
.
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых 
или 
6х=0 у
|
Составим и заполним таблицу:
| х | 
| 0 | 
|
| - | 0 | + |
|
| 
| -2 | 
|
 | |||
 | |||
|
перегиб
у(0)=(0+1)2(0-2)=-2; точка перегиба С(0;-2)
8. Построим график функции, вычислив значение в дополнительной точке х=-2:
| х | -2 |
| у | -4 |
Пример 2. Исследовать дробно-рациональную функцию и построить её график 
Решение:
1. 
2. Исследуем функцию на четность и нечетность:
функция нечётная, и следовательно, график функции симметричен относительно точки О (0;0).
3. Точки пересечения с осями координат.
а) с осью ОХ: 
б) с осью ОУ: 
4. Асимптоты
а) вертикальные асимптоты:
х=2 
; 
вертикальная асимптота
х=-2 
; 
б) наклонные асимптоты: 
горизонтальная асимптота.
5. Периода у функции нет, т.к. Т: .
6. Промежутки монотонности.
Найдём 
Т.к. 
то функция убывает всюду в области определения.Точек экстремума у функции нет.
7. Промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
Найдём 
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых 
; 
Итак, критические точки:
.
Составим и заполним таблицу, учитывая симметрию графика функции:
| х | 
| -2 | 
| 0 | (0;2) | 2 | (2;+  )
|
|
| - |
| + | 0 | - | 
| + |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
8. Построим график функции, вычислив значения в дополнительных точках:
| х | -3 | -1 | 1 | 3 |
| у | 
| 
| –
|
|
у
Индивидуальные задания.
Исследовать функции и построить их графики.
Вариант №1
1. y=x2+2x-3;
2. y=x3+6x2+9x;
3. y=-2x-  ;
| Вариант №2
1. y=4x2-6x-7;
2. y=x3-3x2-x+3;
3. y=3x+  ;
| Вариант №3
1. y=3+4x-x2;
2. y=-x3+4x2-3;
3. y=x- 
|
Вариант №4
1. y= 
2. y=2+5x3-3x5;
3. y=  -x;
| Вариант №5
1. y=-4x2+2x-1;
2. y=3x5-5x3;
3. 
| Вариант №6
1. y= 
2. y=4x5-5x4;
3. y=x- 
|
Вариант №7
1. y=x2+x-2;
2. y=3x5-10x3+15x;
3. y= 
| Вариант №8
1. y=x2-2x+3;
2. y=x5-5x;
3. y= 
| Вариант №9
1. y=x2-6x;
2. y=-x3+4x-3;
3. y= 
|
Вариант №10
1. y=3x-x2;
2. y=2+3x-x3;
3. y= 
| Вариант №11
1. y=x2-10x+9;
2. y=x3-x2+x-1;
3. y= 
| Вариант №12
1. y=-x2+2x+3;
2. y=x5+x3+x-1;
3. y= 
|
Вариант №13
1. y=5x-4x2;
2. y=x3+3x2+3x
3. y= 
| Вариант №14
1. y=x2+2x+2;
2. y=1-2x+2x3-x5;
3. y=4+ 
| Вариант №15
1. y=3x2-6x+3;
2. y=3-2x-2x2-x3;
3. y= 
|
Вариант №16
1. y=-4x2+2x-1;
2. y=-x3+4x-3;
3. y=-2x-  ;
| ||
