Практическая работа №18.
Тема: Построение графиков функций с помощью производной.
Цель: научиться строить графики функций, используя их исследование с помощью производной.
Теоретическая часть.
Общая схема исследования функции y=f(x).
- Найти область определения функции D(y);
- Определить чётность(нечётность) функции:
у=f(х) -чётная, если у(-х)=у(х) график функции симметричен относительно оси Оу;
у=f(х) -нечётная, если у(-х)=-у(х) график функции и симметричен относительно начала координат О(0;0).
у=f(х) -ни чётная, ни нечётная, т.е. общего вида, если у(-х) у(х)
- Найти точки пересечения графика функций с осями координат:
а) с осью ОХ:
б) с осью ОУ:
- Найти асимптоты графика функции:
а) вертикальные (находим среди точек разрыва)
– вертикальная асимптота
б) наклонные
- наклонная асимптота ;
- Найти период функции, если Т:
- Исследовать функцию на монотонность и экстремум:
а) найти и критические точки , т.е. точки из области определения функции, в которых или терпит разрыв;
|
|
б) разбить область определения D(y) точками на интервалы и исследовать знак в каждом интервале;
в) сделать вывод о монотонности:
если
если
г) сделать вывод об точках экстремума;
– точка max, если меняет знак с «+» на «–» при переходе через точку
– точка min, если меняет знак с «–» на «+» при переходе через точку
д) вычислить значение функции в точках экстремума, т.е. найти ;
е) составить таблицу:
х | |
- Исследование функции на выпуклость и точки перегиба:
а) найти и критические точки , т.е. точки из области определения функции, в которых или терпит разрыв;
б) разбить область определения D(y) точками на интервалы и исследовать знак в каждом интервале;
в) сделать вывод о выпуклости графика на каждом промежутке:
если , то график обращён выпуклостью вверх ;
если , то график обращён выпуклостью вниз ;
г) определить точки перегиба:
если меняет знак при переходе через точку , то –точка перегиба
д) вычислить значение функции у в точках перегиба, т.е. найти ;
е) составить таблицу:
х | |
- Построить график функции, вычислив, если необходимо, значения в дополнительных точках.
Практическая часть.
Пример 1. Исследовать функцию и построить её график
Решение.
1. D(y)=R.
2. Исследуем функцию на чётность и нечётность:
Таким образом, функция общего вида, симметрии у графика нет.
3. Точки пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: б) с осью ОУ: , т.е. С(0;-2).
, т.е. А(-1;0), В(2;0)
4. Асимптоты.
а) вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва
б) наклонные асимптоты:
наклонных асимптот нет.
5. Периода нет, т.к. Т: .
|
|
6. Промежутки монотонности.
Найдём
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых =0 или
критические точки I рода.
Составим и заполним таблицу:
х | -1 | 1 | |||
+ | 0 | - | 0 | + | |
0 | -4 |
max min
7. Промежутки выпуклости и вогнутости графика функций.
Найдём .
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых или
6х=0 у
|
Составим и заполним таблицу:
х | 0 | ||
- | 0 | + | |
-2 |
|
перегиб
у(0)=(0+1)2(0-2)=-2; точка перегиба С(0;-2)
8. Построим график функции, вычислив значение в дополнительной точке х=-2:
х | -2 |
у | -4 |
Пример 2. Исследовать дробно-рациональную функцию и построить её график
Решение:
1.
2. Исследуем функцию на четность и нечетность:
функция нечётная, и следовательно, график функции симметричен относительно точки О (0;0).
3. Точки пересечения с осями координат.
а) с осью ОХ:
б) с осью ОУ:
4. Асимптоты
а) вертикальные асимптоты:
х=2 ;
вертикальная асимптота
х=-2 ;
б) наклонные асимптоты:
горизонтальная асимптота.
5. Периода у функции нет, т.к. Т: .
6. Промежутки монотонности.
Найдём
Т.к. то функция убывает всюду в области определения.Точек экстремума у функции нет.
7. Промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
Найдём
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых
;
Итак, критические точки:
.
Составим и заполним таблицу, учитывая симметрию графика функции:
х | -2 | 0 | (0;2) | 2 | (2;+ ) | ||
- | + | 0 | - | + | |||
0 |
8. Построим график функции, вычислив значения в дополнительных точках:
х | -3 | -1 | 1 | 3 |
у | – |
у
Индивидуальные задания.
Исследовать функции и построить их графики.
Вариант №1 1. y=x2+2x-3; 2. y=x3+6x2+9x; 3. y=-2x- ; | Вариант №2 1. y=4x2-6x-7; 2. y=x3-3x2-x+3; 3. y=3x+ ; | Вариант №3 1. y=3+4x-x2; 2. y=-x3+4x2-3; 3. y=x- |
Вариант №4 1. y= 2. y=2+5x3-3x5; 3. y= -x; | Вариант №5 1. y=-4x2+2x-1; 2. y=3x5-5x3; 3. | Вариант №6 1. y= 2. y=4x5-5x4; 3. y=x- |
Вариант №7 1. y=x2+x-2; 2. y=3x5-10x3+15x; 3. y= | Вариант №8 1. y=x2-2x+3; 2. y=x5-5x; 3. y= | Вариант №9 1. y=x2-6x; 2. y=-x3+4x-3; 3. y= |
Вариант №10 1. y=3x-x2; 2. y=2+3x-x3; 3. y= | Вариант №11 1. y=x2-10x+9; 2. y=x3-x2+x-1; 3. y= | Вариант №12 1. y=-x2+2x+3; 2. y=x5+x3+x-1; 3. y= |
Вариант №13 1. y=5x-4x2; 2. y=x3+3x2+3x 3. y= | Вариант №14 1. y=x2+2x+2; 2. y=1-2x+2x3-x5; 3. y=4+ | Вариант №15 1. y=3x2-6x+3; 2. y=3-2x-2x2-x3; 3. y= |
Вариант №16 1. y=-4x2+2x-1; 2. y=-x3+4x-3; 3. y=-2x- ; |