Влияние корней характеристического уравнения системы на устойчивость системы

В отличие от оценки статической устойчивости по практическим критериям суть этого метода заключается в исследовании уравнений движения, записанных в виде уравнений малых отклонений.

При установлении простейших условий статической устойчивости (практических критериев) ответ получается только в форме «да- нет».

При установлении критериев устойчивости, основанных на исследовании уравнений движения– уравнений малых колебаний (малых отклонений), физическая природа происходящих явлений выясняется более полно: устанавливается в любом случае (устойчивость, неустойчивость) характер движения (апериодическое, колебательное– затухающее или нарастающее).

Метод исследования статической устойчивости энергосистем, опирающийся на линеаризацию «в малом», называется методом малых колебаний. При этом под малыми колебаниями подразумеваются изме­нения малых линейных приращений параметров режима энергосистемы в окрестности точки, изображающей исследуемый установившийся ре­жим. Численные значения параметров этого режима рассматриваются в качестве координат изображающей точки в многомерном пространстве.

Ляпунов доказал, что для суждения об устойчивости системы можно достаточно рассмотреть так называеме свободные колебания параметров режима, получаемых в виде общих решений систем линеаризованных дифференциальных уравнений [1].

По общему решению системы линейных дифференциальных уравнений можно определить тенденцию к развитию процессов. Если оказывается, что малые приращения параметров режима самопроиз­вольно (при отсутствии возмущающих воздействий на систему) не воз­растают, то энергосистема работает в устойчивом режиме. Если же эти приращения имеют тенденцию к возрастанию, то режим системы неус­тойчив.

Методика применения метода малых колебаний включает в себя необходимость выполнения следующих действий:

провести расчет установившегося режима и таким образом оп­ределить координаты изображающей точки;

составить систему дифференциальных и алгебраических уравне­ний, описывающих электромеханические процессы;

провести линеаризацию «в малом» дифференциальных и алгебраических уравнений;

составить характеристическое уравнение полученной системы дифференциальных и алгебраических уравнений и определить его кор­ни;

по виду корней характеристического уравнения определить тен­денцию развития процессов в электроэнергетической системе и сделать заключение об устойчивости (или неустойчивости) исследуемого уста­новившегося режима.

   Теорема Ляпунова 1. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, (а) то возмущенное движение реальной системы устойчиво.

   Теорема Ляпунова 2. Если имеется хотя бы одна положительная вещест­венная часть, то система статически не устойчива.

   При высокой степени характеристического уравнения отыскание его корней является трудоемкой операцией, поэтому ее обычно заменяют опера­цией отыскания закономерностей, связывающих корни с коэффициентами характеристического уравнения или с некоторыми функциями от коэффици­ентов. Такие закономерности называют критериями устойчивости. Матема­тически критерии устойчивости означают отсутствие корней в правой полу­плоскости.

   Критерии устойчивости классифицируются как пря­мые, требующие нахождения корней характеристического уравнения, и как косвенные, не требующие вычисления корней [2]. Это критерии алгебраические (методы Рауса и Гурвица) и частотные (Михайлова, Найквиста). Критерии устойчивости формулируют необходимые и достаточ­ные условия устойчивости, основанные на анализе корней характеристиче­ского уравнения, но не требующие их вычисления.