Большие числа. Что делать?

Обычно (хотя и не всегда) задачи, в условии которых даны большие числа, решаются достаточно просто, если выделить в этих числах степени двойки. На эту мысль должны сразу наталкивать такие числа как

128 = 2⁷, 256 = 2⁸, 512 = 2⁹, 1024 = 2¹⁰,

2048 = 2¹¹, 4096 = 2¹², 8192 = 2¹³, 16384 = 2¹⁴,65536 = 2¹⁶ и т.п.

Нужно помнить, что соотношение между единицами измерения количества информации также представляют собой степени двойки:

1 байт = 8 бит = 2³ бит,

1 Кбайт = 1024 байта = 2¹⁰ байта

= 2¹⁰ · 2³ бит = 2¹³ бит,

1 Мбайт = 1024 Кбайта = 2¹⁰ Кбайта

= 2¹⁰ · 2¹⁰ байта = 2²⁰ байта

= 2²⁰ · 2³ бит = 2²³ бит.

Правила выполнения операций со степенями:

при умножении степени при одинаковых основаниях складываются

2 ^a ⋅ 2 ^b = 2 ^a ⁺ ^b

… а при делении – вычитаются:

2 ^a ₌₂ a − b

2 ^b

Решение (вариант 1):

в сообщении было 4096 = 2¹² символов объем сообщения

1/512 Мбайта = 2²³ / 512 бита = 2²³ / 2⁹ бита = 2¹⁴ бита

(= 16384 бита!)

место, отведенное на 1 символ:

2¹⁴ бита / 2¹² символов = 2² бита на символ = 4 бита на символ

4 бита на символ позволяют закодировать 2⁴ = 16 разных символов

поэтому мощность алфавита – 16 символов правильный ответ – 2.

Возможные ловушки:

дано число, которое есть в условии (неверный ответ

4096), чтобы сбить случайное угадывание

расчет на то, что увидев «правильное» число в ходе

вычислений, учащийся не будет доводить расчет до

конца (неверный ответ 16384)

легко запутаться, если выполнять вычисления «в лоб», не через степени двойки

Решение (вариант 2):

объем сообщения

1/512 Мбайт = 1024/512 Кбайт = 2 Кбайт = 2048 байт на 1 символ приходится 2048 байт / 4096 = 1/2 байта =

4 бита

4 бита на символ позволяют закодировать 2⁴ = 16 разных символов

поэтому мощность алфавита – 16 символов правильный ответ – 2.

Возможные проблемы:

не всегда удобно работать с дробными числами (1/2 байта)

метод разработан специально для этой задачи, где он

хорошо работает; в других задачах может быть не так

гладко

Пример 10. В зоопарке32обезьяны живут в двух

вольерах, А и Б. Одна из обезьян заболела. Сообщение

«Заболевшая обезьяна живет в вольере А» содержит 4 бита информации. Сколько обезьян живут в вольере Б?

1) 4 2)16 3)28 4)30

Решение (вариант 1):

информация в 4 бита соответствует выбору одного из

16 вариантов, …

… поэтому в вольере А живет 1/16 часть всех обезьян

(это самый важный момент!)

всего обезьян – 32, поэтому в вольере А живет 32/16 = 2 обезьяны поэтому в вольере Б живут все оставшиеся 32 – 2 = 30 обезьян правильный ответ – 4.

Возможные ловушки:

неверный ответ 1 (4 обезьяны) сбивает случайное

угадывание «в лоб», по исходным данным

можно сделать неверный вывод о том, что в вольере А

живет 4 обезьяны (столько же, сколько бит

информации мы получили), следовательно, в вольере

Б живут оставшиеся 28 обезьян (неверный ответ 3) после п. 1 можно сделать (неверный) вывод о том, что в вольере А живет 16 обезьян, следовательно, в вольере Б – тоже 16 (неверный ответ 2)

Решение (вариант 2, использование формулы Шеннона):

заболевшая обезьяна может жить в вольере А (событие 1) или в вольере Б (событие 2)

количество информации в сообщении о произошедшем событии с номером i равно I_i =−log₂ p_i, где p_i –вероятность этого события;таким образом,получаем

вероятность того, что заболевшая обезьяна живет в вольере А:

p ₁=2⁻ ^I 1 ⇒ p ₁=2⁻⁴=₁₆¹.

у нас не было никакой предварительной информации

о том, где живет заболевшая обезьяна, поэтому можно считать, что вероятность определяется количеством обезьян в вольере – если вероятность равна 1/16, то в вольере живет 1/16 часть всех обезьян:

32/16 = 2 обезьяны

поэтому в вольере Б живут все оставшиеся 32 – 2 = 30 обезьян правильный ответ – 4.

Пример 11. В корзине лежат32клубка шерсти,из них4 красных. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали клубок красной шерсти?

1) 2 2)3 3)4 4)32

Решение (вариант 1):

красные клубки шерсти составляют 1/8 от всех, … поэтому сообщение о том, что первый вынутый

клубок шерсти – красный, соответствует выбору одного из

8 вариантов

выбор 1 из 8 вариантов – это информация в 3 бита (по таблице степеней двойки)

правильный ответ – 2.

Решение (вариант 2, использование формулы Шеннона):

красные клубки шерсти составляют 1/8 от всех, поэтому вероятность p_k того, что первый вынутый клубок шерсти – красный, равна 1/8

по формуле Шеннона находим количество информации в битах:

I_k =−log₂ p_k	⇒	I_k =−log₂	1	= log₂ 8 = 3 бита.
			8

правильный ответ – 2.

Пример 12. В некоторой стране автомобильныйномер длиной 7 символов составляется из заглавных букв (всего используется 26 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер

– одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 20 автомобильных номеров.

1) 20 байт 2) 105 байт 3) 120 байт 4) 140 байт Решение:

всего используется 26 букв + 10 цифр = 36 символов для кодирования 36 вариантов необходимо

использовать 6 бит, так как 25=32<36≤26=64, т.е. пяти бит не хватит (они позволяют кодировать только 32 варианта), а шести уже достаточно

таким образом, на каждый символ нужно 6 бит (минимально возможное количество бит)

полный номер содержит 7 символов, каждый по 6 бит, поэтому на номер требуется 6⋅7=42 бита

по условию каждый номер кодируется целым числом байт (в каждом байте – 8 бит), поэтому требуется 6 байт на номер (5⋅8=40<42≤6⋅8=48), пяти байтов не хватает, а шесть – минимально возможное количество

на 20 номеров нужно выделить 20⋅6=120 байт правильный ответ – 3.

Возможные ловушки:

неверный ответ 1 (20 байт) сбивает случайное угадывание

«в лоб», по исходным данным

если не обратить внимание на то, что каждый номер кодируется целым числом БАЙТ, получаем неверный ответ 2 (20⋅42=105⋅8 бит = 105 байт)

если по невнимательности считать, что каждый СИМВОЛ кодируется целым числом байт, получаем 7 байт на символ и всего 140 байт (неверный ответ 4)

если «забыть» про цифры, получим всего 26 символов, 5 бит на символ, 35 бит (5 полных байт) на каждый номер и неверный ответ 100 байт (на 20 номеров)

Задачи для тренировки:

1) Метеорологическая станция ведет наблюдение за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100 процентов, которое записывается при помощи минимально возможного количества бит. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем результатов

наблюдений.

1) 80 бит 2) 70 байт 3) 80 байт 4) 560 байт

2) Обычный дорожный светофор без дополнительных секций подает шесть видов сигналов (непрерывные красный, желтый и зеленый, мигающие желтый и зеленый, красный и желтый одновременно). Электронное устройство управления светофором последовательно воспроизводит записанные сигналы. Подряд записано 100 сигналов светофора. В целых байтах данный

информационный объем составляет
1) 37	2) 38	3) 50	4) 100

3) Два текста содержат одинаковое количество символов. Первый текст составлен в алфавите мощностью 16 символов, а второй текст – в алфавите из 256 символов. Во сколько раз количество информации во втором тексте больше, чем в первом?

1)12 2)2 3)24 4)4

4) Объем сообщения – 7,5 Кбайт. Известно, что данное сообщение содержит 7680 символов. Какова мощность алфавита?

1) 77 2) 256 3) 156 4) 512

5) Дан текст из 600 символов. Известно, что символы берутся из таблицы размером 16 на 32. Определите информационный объем текста в битах.

1) 1000 2) 2400 3) 3600 4) 5400

6) Мощность алфавита равна 256. Сколько Кбайт памяти

потребуется для сохранения 160 страниц текста, содержащего в среднем 192 символа на каждой странице?

1) 10 2) 20 3) 30 4) 40

7) Объем сообщения равен 11 Кбайт. Сообщение содержит 11264 символа. Какова мощность алфавита?

1) 64 2) 128 3) 256 4) 512

8) Для кодирования секретного сообщения используются 12 специальных значков-символов. При этом символы кодируются

одним и тем же минимально возможным количеством бит. Чему равен информационный объем сообщения длиной в 256 символов?

1) 256 бит 2) 400 бит 3) 56 байт 4) 128 байт

9) Мощность алфавита равна 64. Сколько Кбайт памяти потребуется, чтобы сохранить 128 страниц текста, содержащего в среднем 256 символов на каждой странице?

1)82)12 3)24 4)36

10) Для кодирования нотной записи используется 7 значков-нот. Каждая нота кодируется одним и тем же минимально возможным количеством бит. Чему равен информационный объем сообщения, состоящего из 180 нот?

1) 180 бит 2) 540 бит 3)100 байт 4) 1 Кбайт

11) В некоторой стране автомобильный номер длиной 6 символов составляется из заглавных букв (всего используется 12 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 32 автомобильных номеров.

1) 192 байта 2) 128 байт 3) 120 байт 4) 32 байта

12) В некоторой стране автомобильный номер длиной 5 символов составляется из заглавных букв (всего используется 30 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для

хранения 50 автомобильных номеров.

1) 100 байт 2) 150 байт 3) 200 байт 4) 250 байт

13) В некоторой стране автомобильный номер длиной 6 символов составляется из заглавных букв (всего используется 19 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым

количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для

хранения 40 автомобильных номеров.

1) 120 байт 2) 160 байт 3) 200 байт 4) 240 байт

14) В некоторой стране автомобильный номер длиной 6 символов составляется из заглавных букв (всего используется 26 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а

каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 20 автомобильных номеров.

1) 160 байт 2) 120 байт 3) 100 байт 4) 80 байт

15) В велокроссе участвуют 678 спортсменов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с использованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спортсмена. Каков информационный объем сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 200 велосипедистов?

1) 200 бит 2) 200 байт 3) 220 байт4) 250 байт

16) В некоторой стране автомобильный номер длиной 7 символов составляется из заглавных букв (всего используется 18 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым

количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 60 автомобильных номеров.

1) 240 байт 2) 300 байт 3) 360 байт 4) 420 байт

17) В базе данных хранятся записи, содержащие информацию о датах. Каждая запись содержит три поля: год (число от 1 до 2100), номер месяца (число от 1 до 12) и номер дня в месяце (число от 1 до 31). Каждое поле записывается отдельно от других полей с помощью минимально возможного числа бит. Определите минимальное количество бит, необходимых для кодирования одной записи.

18) В некоторой стране автомобильный номер длиной 10 символов составляется из заглавных букв (всего используется 21 буква) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым

количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для

хранения 81 автомобильного номера.

1) 810 байт 2) 567 байт 3) 486 байт 4) 324 байта

19) В некоторой стране автомобильный номер длиной 5 символов

составляется из заглавных букв (всего используется 30 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 50 автомобильных номеров.

1) 100 байт 2) 150 байт 3) 200 байт 4) 250 байт

20) В некоторой стране автомобильный номер длиной 7 символов

1) 160 байт 2) 96 байт 3) 224 байт 4) 192 байт

21) В некоторой стране автомобильный номер длиной 5 символов составляется из заглавных букв (всего используется 26 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а

каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 40 автомобильных номеров.

1) 160 байт 2) 200 байт 3) 120 байт 4) 80 байт

22) В некоторой стране автомобильный номер длиной 7 символов составляется из заглавных букв (всего используется 22 буквы) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым

количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 50 автомобильных номеров.

1) 350 байт 2) 300 байт 3) 250 байт 4) 200 байт

23) Объем сообщения равен 11 Кбайт. Сообщение содержит 11264 символа. Какова максимальная мощность алфавита, использованного при передаче сообщения?

1) 64 2) 128 3) 256 4) 512

24) В школе 800 учащихся, коды учащихся записаны в школьной информационной системе с помощью минимального количества бит. Каков информационный объем сообщения о кодах 320 учащихся, присутствующих на конференции?

1) 2560 бит 2) 100 байт 3) 6400 бит 4) 400 байт

25) В некоторой стране автомобильный номер состоит из 8 символов. Первый символ – одна из 26 латинских букв, остальные семь – десятичные цифры. Пример номера –

A1234567. Каждый символ кодируется минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 30 автомобильных номеров.

1) 180 байт 2) 150 байт 3) 120 байт 4) 250 байт

26) Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю необходимо придумать пароль длиной ровно 11 символов. В пароле можно использовать десятичные цифры и 12 различных символов местного алфавита, причем все буквы используются в двух начертаниях – строчные и прописные. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством

бит, а каждый пароль – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 60 паролей.

1) 720 байт 2) 660 байт 3) 540 байт 4) 600 байт

27) Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю необходимо придумать пароль длиной ровно 15 символов. В пароле можно использовать десятичные цифры и 11 различных символов местного алфавита, причем все буквы используются в двух начертаниях – строчные и прописные. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый пароль – одинаковым и минимально возможным

целым количеством байт. Определите объем памяти,

необходимый для хранения 30 паролей.

1) 360 байт 2) 450 байт 3) 330 байт 4) 300 байт

28) Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю необходимо придумать пароль длиной ровно 11 символов. В пароле можно использовать десятичные цифры и 32 различных символа местного алфавита, причем все буквы используются в

двух начертаниях – строчные и прописные. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый пароль – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 50 паролей.

1) 450 байт 2) 400 байт 3) 550 байт 4) 500 байт

29) В некоторой стране автомобильный номер длиной 5 символов составляют из заглавных букв (задействовано 30 различных

букв) и любых десятичных цифр в любом порядке. Каждый такой номер в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объём памяти, отводимый этой программой для записи 50 номеров.

1) 100 байт 2) 150 байт 3) 200 байт 4) 250 байт

30) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 11 символов и содержащий только символы И, К, Л, М, Н. Каждый такой пароль в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством

бит). Определите объём памяти, отводимый этой программой для записи 20 паролей.

1) 80 байт 2) 90 байт 3) 100 байт 4) 110 байт

31) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы К, О, М, П, Ь, Ю, Т, Е, Р. Каждый такой пароль в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством

бит). Определите объём памяти, отводимый этой программой

для записи 30 паролей.

1) 180 байт 2) 210 байт 3) 240 байт 4) 270 байт

32) При регистрации в компьютерной системе каждому

пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы Е, Г, Э, 2, 0, 1, 3. Каждый такой пароль в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объём памяти, отводимый этой программой для записи 25 паролей.

1) 150 байт 2) 175 байт 3) 200 байт 4) 225 байт

33) Автомобильный номер состоит из нескольких букв (количество букв одинаковое во всех номерах), за которыми следуют три цифры. При этом используются 10 цифр и только 5 букв: Н, О, М, Е и Р. Нужно иметь не менее 100 тысяч различных номеров. Какое наименьшее количество букв должно быть в автомобильном номере?

1)1 2)2 3)3 4)4

34) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы из 12-буквенного набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, X. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего отведено 12 байт.

Определите объём памяти, необходимый для хранения сведений о 50 пользователях.

1) 900 байт 2) 1000 байт 3) 1100 байт 4) 1200 байт

35) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 6 символов и содержащий только символы из 7-буквенного набора А, В, Е, К, М, Н, О. В базе данных для хранения сведений о каждом

пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего отведено 10 байт. Определите объём памяти, необходимый для хранения сведений

о 100 пользователях.

1) 1000 байт 2) 1100 байт 3) 1200 байт 4) 1300 байт

36) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся идентификатор, состоящий из 10 символов, первый и последний из которых – одна из 18 букв, а остальные – цифры (допускается использование 10 десятичных цифр). Каждый такой идентификатор в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование; все цифры кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит, все буквы также кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объём памяти, отводимый этой программой для записи 25 паролей.

1) 150 байт 2) 175 байт 3) 200 байт 4) 225 байт

37) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся идентификатор, состоящий из 8 символов, первый и последний из которых – одна из 18 букв, а остальные – цифры (допускается использование 10 десятичных цифр). Каждый такой идентификатор в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование; все цифры кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит, все буквы также кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объём памяти, отводимый этой программой для записи 500 паролей.

1) 1500 байт 2) 2000 байт 3) 2500 байт 4) 3000 байт

38) При регистрации в компьютерной системе, используемой при проведении командной олимпиады, каждому ученику выдается

уникальный идентификатор – целое число от 1 до 1000. Для хранения каждого идентификатора используется одинаковое и минимально возможное количество бит. Идентификатор команды состоит из последовательно записанных идентификаторов учеников и 8 дополнительных бит. Для записи каждого идентификатора команды система использует одинаковое и минимально возможное количество байт. Во всех командах равное количество участников. Сколько участников в каждой команде, если для хранения идентификаторов 20 команд-участниц потребовалось 180 байт?

1)6 2)5 3)4 4)3

39) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 6 символов и содержащий только символы из 7-буквенного набора Н, О, Р, С, Т, У, Х. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое целое число байт, при этом для хранения сведений о 100 пользователях используется 1400 байт. Для каждого пользователя хранятся пароль и дополнительные сведения. Для хранения паролей используют посимвольное кодирование, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Сколько бит отведено для хранения дополнительных сведений о каждом пользователе?

1) 88 2) 90 3) 94 4) 98

40) При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы из набора И,Н,Ф, О, Р, М, А, Т, К. Каждый такой пароль в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит). Определите объём памяти, отводимый этой программой

для записи 25 паролей.

1) 150 байт 2) 175 байт 3) 200 байт 4) 225 байт