Ответ: а) да, б)нет, в)нет, г)нет

Высказывание ложно.

 

По теореме о существовании разности (разность натуральных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого) имеем (∃ a, bЄN) a – b

                   b < a.

Если b – a, то с(разность) – отрицательное число.

Следовательно, разности натуральных чисел b – a не существует. Значит, высказывание ложно.

 

B. Формула деления с остатком: a=bq+r, 0<r<b.

Высказывание верно.

 

Определение: говорят, что число а делится на число b натуральное с остатком тогда и только тогда, когда найдутся два числа, c – неполное частное и r –остаток, такие, что число а будет представлено в виде суммы произведения b и c и остатка r. Следовательно, формула деления с остатком записана верно.

 

C. Число m называют общим кратным чисел а и b, если m:a и m:b.

Высказывание верно

 

Определение:

Общим кратным чисел а и b называется такое число m, которое кратно числу а и числу b.

Например, 24 – общее кратное чисел 3 и 12, т.к. 24:3=8 и 24:12=2

.

Т₃. На 9 делится следующее число:

а) 214678;

б) 6534481;

в) 783242;

г) 439677.

 

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр кратна 9.

а) 214678 не делится на 9, т.к. 2+1+4+6+7+8=28, 28 не кратно 9;

б) 6534481 не делится на 9, т.к. 6+5+3+4+4+8+1=31, 31 не кратно 9

в) 783242 не делится на 9, т.к. 7+8+3+2+4+2=26, 26 не кратно 9

г) 439677 делится на 9, т.к. 4+3+9+6+7+7=36, 36 кратно 9

Ответ: г)

Т₄. В какое число вместо (*) надо поставить цифру 5, чтобы число делилось на 9:

а) 54*0;

б) 3*55;

в) 971*;

г) 69*6.

 

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр кратна 9.

а) 5450 не делится на 9, т.к. 5+4+5+0 = 14, 14 не кратно 9.

б) 3555 делится на 9, т.к. 3+5+5+5=18, 18 кратно 9

в) 9715 не делится на 9, т.к. 9+7+1+5=22, 22 не кратно 9

г) 6956 не делится на 9, т.к. 6+9+5+6=26, 26 не кратно 9.

Ответ: б)

Т₅.

 Всегда ли число делится на 10, если:

а) его последняя цифра 0;

б) оно кратно 2;

в) оно не кратно 2;

г) оно кратно 5.

 

Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается на 0.

10 – число составное. Для того, чтобы число х делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 5.

 

а) да, согласно признаку делимости

б) нет, т.к. этого недостаточно. Нужно, чтобы число х делилось на 2 и на 5

например, 22 делится на 2, но не делится на 5.

в) нет, т.к. нужно, чтобы число х делилось на 2 и на 5.

г) нет, нет, т.к. этого недостаточно. нужно, чтобы х делилось на 2 и на 5

например, 15 делится на 5, но не делится на 2

 

Ответ: а) да, б)нет, в)нет, г)нет

 

Т6.

На 15 делится значение следующих выражений:

а) 230·18;

б) 125·17;

в) 345+120+180+465;

г) 315-135.

 

15

			3
	5

 

Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр кратна 3

а) 230·18

230 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 0

18 делится на 3, т.к. 1+8=9, 9 кратно 3

По теореме: Если в произведении двух чисел а и b первый множитель делится на число m, а второй множитель делится на число n, то произведение чисел а и b делится на произведение чисел m и n, где m и n - натуральные числа

Значит, 230·18 делится на 15

б) 125·17

125 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 5,

17 не делится на 5, т.к. оканчивается 7

17 не делится на 3, т.к. 1+7=8, 8 не кратно 3.

Теорема: Если в произведении двух чисел а и b первый множитель делится на число m, а второй множитель делится на число n, то произведение чисел а и b делится на произведение чисел m и n, где m и n - натуральные числа не сработала.

Значит, 125·17 не делится 15.

в) 345+120+180+465

345 делится на 15, т.к. 345 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (3+4+5=12, 12 кратно 3)

120 делится на 15, т.к. 120 делится на 5(оканчивается на 0) и 3 (1+2+0=3, 3 кратно 3)

180 делится на 15, т.к. 180 делится на 5(оканчивается на 0) и 3 (1+8+0=9, 9 кратно 3)

465 делится на 15, т.к. 465 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (4+6+5=15, 15 кратно 3)

Теорема «Достаточный признак делимости суммы»: Если каждое слагаемое делится на натуральное число b, то и вся сумма делится на это число.

Значит, 345+120+180+465 делится на 15.

г) 315-135

315 делится на 15, т.к. 315 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (3+1+5=9, 9 кратно 3)

135 делится на 15, т.к. 135 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (1+3+5=9, 9 кратно 3)

Теорема «Достаточный признак делимости разности»: Если числа а и bделятся на с и при этом число а больше или равно b, то разность а и b тоже будет делится на с.

Значит, 315-135 делится на 15.

Ответ: а), в), г)

Т7. Выберите взаимно простые числа:

1. 190;

2. 24;

3. 51;

4. 105.

 

Если НОД двух целых неотрицательных чисел a и b равен 1, то эти числа a и b называются взаимно простыми.

190     2

95       5

19       19

1

190 = 2·5·19·1

24   2

12   2

6     2

3     3

1

24=2³·3·1

51   3

17   17

1

51=3·17·1

105 3

35   5

7     7

1

105=3·5·7·1

190 и 51 – взаимно простые числа

 

Ответ: 1 и 3.

 

Т₈. Наименьшим общим кратным чисел 35 и 21 является число:

а) 7;

б) 42;

в) 105;

г) 210.

Найдем НОК, используя способ канонического разложения чисел

35 5

7   7

1

 

35=7·5

21 3

7    7

1

21=3·7

НОК (35, 21) = 7·3·5= 105

 

Ответ: в)

 

Т₉. Дано А={31, 19, 143, 139, 257, 213, 169}. Выберите из множества А подмножество простых чисел:

а) {31, 19, 143, 257};

б) {19, 31, 139, 213, 257};

в) {19, 31, 139, 257};

г) {31, 139, 257, 213}.

 

Простым числом называется натуральное число, которое имеет ровно 2 делителя – 1 и само себя.

Найдем по таблице простых чисел простые числа, которые входят в наше множество: 31, 19, 139, 257. Значит, подходящее подмножество простых чисел под буквой в)

 

Ответ: в)

Т10.

 Дано a=2⁵·3⁴·5²·11;   b=2³·3⁶·5³·7². Тогда НОК(a, b)=

а) 2³·3⁴·5²;

б) 2⁵·3⁶·5³·7²·11⁰;

в) 2⁵·3⁶·5³·7²·11;

г) 2¹⁵·3²⁴·5⁶·7²·11.

 

a=2⁵·3⁴·5²·11

b=2³·3⁶·5³·7²

Чтобы найти НОК чисел a и b, нужно из канонического разложения взять каждый множитель в наибольшей степени и перемножить.

НОК (a, b) = 2⁵·3⁶·5³·11·7²

^ь

Ответ:в)

Т₁₁.

 В какой степени число 7 входит в разложение на множители числа 12!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12:

а) 10;

б) 1;

в) 6;

г) 11.

 

12!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12

Разложим число на простые множители: 12!=1∙2∙3∙2∙2∙5∙2∙3∙ 7 ∙2∙2∙2∙9∙2∙5∙11∙2∙2∙3∙

Число 7 входит в разложение на множители числа 12! один раз, значит, в первой степени

 

Ответ: б)