При изменении угла на целое число полных, соответствующих для данной функции, оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются

Тема. Значения и свойства синуса, косинуса,

Тангенса и котангенса угла

Вопросы темы:

Значения синуса, косинуса тангенса и котангенса угла.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

Вопрос 1 Значения синуса, косинуса тангенса и котангенса угла

Повторим соотношение сторон прямоугольного треугольника АВС

Катеты BC и AC прямоугольного треугольника ABC (рис. 1) называют противолежащим катетом угла α и прилежащим катетом угла α соответственно.

Рис.1

Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC (рис. 2) называют противолежащим катетом угла β и прилежащим катетом угла β соответственно.

Рис.2

Синусом угла называют дробь:

Косинусом угла называют дробь:

Тангенсом угла называют дробь:

Котангенсом угла называют дробь:

Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α используют обозначения:

sin α, cos α, tg α, ctg α

Рис.3

В соответствии с рисунком 3 справедливы формулы:

Следовательно,

Кроме того, справедливы формулы:

sinα = cos β, cosα = sinβ, tgα = ctgβ, ctgα = tgβ,

которые можно переписать в виде:

sinα = cos(90 – α), cosα = sin(90 – α),

tgα = ctg(90 – α), ctgα = tg(90 – α).

Пример. Найти тригонометрические функции углов 30°, 45°, 60°.

Решение.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2 (рис. 4), и проведем высоту BD.

Рис.4

Тогда

Поэтому

Кроме того

Теперь рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, катеты которого равны 1 (рис. 5).

Рис.5

Тогда

Поэтому

Вычисленные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла прямоугольного треугольника можно рассмотреть и с помощью известной нам единичной окружностью, на которой можно найти значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответствующих табличных углов поворота (Рис.6).

Рис.6

Полученные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса табличных углов поворота внесем в Таблицу.

Таблица значений тригонометрических функций

Вопрос 2

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла позволяют установить ряд характерных свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Рассмотрим эти три основных свойства.

Первое свойство указывает – знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α – в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α.

Второе свойство – периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов.

Третье свойство – выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α.

Свойство 1

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Объясним фразу: «угол I, II, III и IV координатной четверти». Что это за углы.

Возьмем единичную окружность:

- отметим на ней начальную точку А(1, 0),

- повернем ее вокруг точки O на угол α, при этом будем считать, что мы попадем в точку A₁(x, y).

Говорим (считаем), что:

- угол α является углом I, II, III, IV координатной четверти, если точка А₁ лежит в I, II, III, IV четверти соответственно;

- если угол α таков, что точка A₁ лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy, то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Пример:

Углы поворота 30°, -210°, 585° и -45° – являются углами I, II, III и IV координатных четвертей соответственно.

Углы 0°, ±90°, ±180°, ±270°, ±360°, … не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Определим, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α.

1. Для синуса и косинуса

1.1. По определению:

Синус угла α – это у – ордината точки А₁

В I и II координатных четвертях она положительна.

В III и IV четвертях – отрицательна.

Таким образом, синус углаα имеет:

- знак плюс - в I и II четвертях,

- знак минус – в III и VI четвертях.

1.2. По определению:

Косинус угла α – это х – абсцисса точкиA₁

В I и IV четвертях она положительна.

Во II и III четвертях – отрицательна.

Следовательно, значения косинуса угла α имеют

- знак плюс - в I и IV четвертях,

- знак минус – во II и III четвертях.

2. Для тангенса и котангенса

Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения:

тангенс угла α – это отношение ординаты точки A₁ к абсциссе - х/у;

котангенс угла α – это отношение абсциссы точки A₁ к ординате - у/х.

Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют:

- знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A₁ одинаковые,

- знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A₁ различны.

Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют:

- знак плюс в I и III координатных четвертях,

- знак минус – во II и IV координатныхчетвертях.

Действительно:

- в первой четверти и абсцисса x, и ордината y точки A₁ положительны, тогда и частное x/y, и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки плю с;

- во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y, и y/x – отрицательны, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки минус.

Ниже рассмотрим следующее, второе, свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство 2

Свойство периодичности

Это самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Свойство периодичности состоит в следующем:

при изменении угла на целое число полных, соответствующих для данной функции, оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Доказательство: при изменении угла на целое число соответствующих для данной функции оборотов (для синуса и косинуса – это полный оборот, для тангенса и котангенса – половинный оборот) мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А₁ на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A₁.

С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так:

sin(α+2·π·z) = sinα cos(α+2·π·z) = cosα

tg(α+·π·z)= tgα ctg(α+·π·z) = ctgα

где α - угол поворота в радианах,

z – любое целое число, абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α, а знак числа z указывает направление поворота.

Если угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде:

sin(α+360°·z) = sinα cos(α+360°·z) = cosα

tg(α+360°·z) = tgα ctg(α+360°·z) = ctgα

Примеры использования этого свойства.

, так как , а

Это свойство часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов (больше, чем острый угол).

Итак, рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса называют свойством периодичности.

Свойство 3

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Пусть:

- точка А₁ – это результат поворота начальной точки А(1; 0) вокруг точки O на угол α,

- точка А₂ – это результат поворота точки А(1; 0) на угол - α, противоположный углу α.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов - базируется на достаточно очевидном факте:

точки А₁ и А₂: 1) либо совпадают (при ),

2)– либо располагаются симметрично

относительно оси Ox.

То есть,

- если точка A₁ имеет координаты (x; y), то

- точка А₂ будет иметь координаты (x; −y).

Отсюда,исходя из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, можем записать следующие равенства:

sin(-a) = -у cos(-a) = х tg(-a) = -у/х ctg(-a) = х/-у

Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и -α, которые можно записать в следующем виде:

sin(-a) = - sin a cos(-a) = cos a

tg(-a) = -tg a ctg(-a) = -ctg a

Выше указанные формулы представляют данное свойство в аналитическом виде, то есть в виде формулы.

Примеры использования данного свойства:

1. Справедливы равенства:

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.