Примеры и разбор решения заданий

Группа 1С-46/ТЭ-49

Тема. Объем пирамиды и конуса.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения.

2. Написать конспект.

3. Выполнить задания.

4. Выполненные задания сфотографировать и отправить на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

5. Выполненные задания сдать до: 15.06

Учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

Ссылка на учебник онлайн:

https://vpr-klass.com/uchebniki/matematika/atanasyan_10-11kl.html

С. 168-170

Лемма 1.

Две пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, имеют равные объемы.

Теорема 1.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: где S – площадь основания, H – высота пирамиды.

Теорема 2.

Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле где H – высота усеченной пирамиды, S₁ и S₂ – площади ее оснований.

Теорема: объем конуса равен одной трети произведения площади основания S на высоту h:

где R - радиус основания конуса

Усеченный конус

Примеры и разбор решения заданий.

Задача 1. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м и образующая 3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень, уложенный в кучу?

1 м³ щебня весит 3 т. На один воз грузят 0,5 т.

Решение.

Дано: конус,

ОА = 2м,

АР = 3,5м,

1м³ = 3т,

1 воз = 0,5 т.

Найти: количество возов.

Решение: V =

Найдем высоту:

h = м м, тогда

V = = 12 м³,

12м³ • 3 т = 36 т в одной куче щебня,

36: 0,5 = 72 воза потребуется.

Ответ: 72 воза.

Задача 2. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем тела вращения.

Решение:

Рассмотрим два конуса с радиусами оснований ОС и высотами ВО и АО.

ВО = АО = 0,5 а,

ОС= ,

V =

Ответ:

Задача 3. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны основания равны 6см и 4см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15см². Найти объём усеченной пирамиды.

Решение: воспользуемся формулой для вычисления объёма усечённой пирамиды.

Площадь оснований этой пирамиды найти нетрудно, эти площади равны и .

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Этим сечением будет трапеция, причем высота этой трапеции будет высотой усечённой пирамиды, потому что высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный на нижнее основание.

Высоту мы найдём пользуясь формулой для вычисления площади трапеции.