Урок 67. Повторение. Задачи на построение

 Актуализация опорных знаний учащихся

1. Повторите как (п. 38-39)

1) на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному;

2) отложить от данного луча угол, равный данному;

3) построить биссектрису данного неразвернутого угла;

4) построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка;

5) построить середину данного отрезка;

6) построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, не проходящей через данную точку.

7) Построить треугольник:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и прилежащим к ней углам;

3) по трем сторонам

Решение задач. Посмотрите решение и запомните.

№ 353.

Анализ (см. рис.1):

Рис. 1

Пусть X – искомая точка, то есть АХ = ХВ, тогда ∆ АХВ – равнобедренный и XY – медиана, высота и биссектриса. Отсюда получаем план построения.

План построения:

1) Построить точку Y – середину АВ.

2) Построить прямую, проходящую через Y и перпендикулярную АВ.

3) Прямая b пересекается с окружностью в точках Х и Z. Х и Z – искомые точки.

Построение (см. рис. 2):

Рис. 2

Доказательство: ∆ AYX = ∆ BYX по двум катетам (они прямоугольные, так как
YX ^ АВ, AY = YB, так как Y – середина АВ), тогда АХ = ВХ, то есть точка Х лежит на данной окружности и равноудалена от концов отрезка АВ. Таким же образом можно доказать, что точка Z удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование:

Задача может иметь:

а) два решения (см. план построения и построение);

б) одно решение, если прямая b имеет одну общую точку с окружностью (касается ее) (рис. 3);

в) ни одного решения, если прямая b не имеет общих точек с окружностью (рис. 4).

Рис. 3                                                    Рис. 4

№ 354.

Соединяем точки А, В и С. Находим середины отрезков АВ, ВС и АС, соответственно K, L и М. Проводим перпендикуляры (серединные перпендикуляры D АВС).
Находим точку О – их точку пересечения. Проводим окружность радиуса АО =
= ВО = СО с центром в точке О.

Вокруг треугольника всегда можно описывать окружность, поэтому задача не имеет решения, лишь когда точки лежат на одной прямой.

Рис. 5      

№ 360.

Рис. 6

Проводим прямую а. Отмечаем на ней точку А – одну из вершин нашего треугольника, на прямой откладываем отрезок, равный периметру треугольника. На прямой b откладываем отрезок АН, равный высоте треугольника. Строим заданный Ða с вершиной в точке А. Проводим прямую с ^ b, Н ^ с. Обозначим точку пересечения с со стороной Ða – В. От точки K откладываем на прямой а отрезок, равный АВ – KC. Соединяем В и С. АВС – искомый треугольник.

№ 362.

а)             Рис. 7              б)

Пусть надо построить D АВС, и даны Ð PQR и отрезки В ₁ С ₁, равный стороне треугольника, и MN, равный сумме двух других сторон треугольника (см. рис. а). Проведем произвольную прямую а, отметим на ней точку В и точку Х (см. рис. б).
От луча ВХ отложим угол XBL, равный углу PQR (см. пункт 23 учебника). От точки В отложим отрезок, равный данному отрезку В ₁ С ₁. Построим биссектрису BK угла LBC (см. пункт 23 учебника). Построим окружность С радиусом, равным MN, и центром С, она пересечет луч BK в точке О. Отложим от луча BK Ð KBF, равный углу BKC. Луч BF пересечет СО в точке А. Треугольник АВС – искомый, докажем это.

Ð KAB = Ð АВС + Ð АСВ (как внешний).

D KAB – равнобедренный (так как Ð BKA = Ð KBA по построению).

Значит, Ð KBA = .

Ð KBС = Ð KBA + Ð АВС =  + Ð АВС =

.

Ð LBC = 2Ð KBС = 180° + Ð АВС – Ð АСВ (так как BK – биссектриса угла LBC).

Ð PQR = Ð XBL = 180° – Ð LBC = 180° – 180° – Ð АВС + Ð АСВ = Ð АСВ – Ð АВС.

АВ = AK, так как D KBA – равнобедренный, значит, MN = KA + АС = АВ + АС,
следовательно, наши построения верны