Преподаватель: Пронина Е.А

Дисциплина: Математика

Занятие 106. Элементы комбинаторики.

План занятия:

1. Комбинаторика, основной принцип комбинаторики.

2. Перестановки.

3. Размещения.

4. Сочетания.

5. Задачи на подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний.

6. Задания для самоконтроля.

Видео-материалы:  https://www.youtube.com/watch?v=sSks0r3-Nwk

Комбинаторика – это наука о конечных множествах.

Рассмотрим k множеств М , М , М , …, М , содержащих по m , m , m ,…, m  элементов соответственно. Выбирается по одному элементу из каждого множества и составляется еще одно множество. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, равно произведению m ∙ m ∙ m ∙…∙ m . В этом и состоит основной принцип произведения комбинаторики.

В задачах теории вероятностей часто рассматриваются различные соединения (комбинации) k элементов из множества, содержащего n элементов (k≤n). Будем рассматривать такие соединения, в которые каждый элемент данного множества может входить не более одного раза, то есть соединения без повторений. Рассмотрим три вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Размещениями из n элементов по k элементов называются наборы k элементов, отличающиеся один от другого или самими элементами (составом элементов), или их порядком. Число размещений обозначается A .

Число размещений из n элементов по k элементов находится по формуле:

А =n∙(n–1)∙(n–2)∙…∙(n–(k–1))   (1)

Перестановками из данных n элементов называются наборы из n элементов, различающихся только порядком.

Перестановки – это частный случай размещений. Число всех перестановок обозначают символом Р . Число Р  найти несложно. Для этого в формулу (1) подставляем k=n.

Р =n∙(n–1)∙(n–2)∙…∙(n–(k–1))∙…∙2∙1=n!

Произведение n первых натуральных чисел называется факториалом числа n и обозначается символом n!(читается «эн факториал»).

Р =1·2·3 …∙n=n! (2)

п! = 1∙2∙3∙…∙ п

Приведем некоторые значения факториала:

                      0!=1,                  5!= 1·2·3·4∙5=120,

                      1!=1,                  6!= 1·2·3·4∙5∙6=720,

                      2!=1·2=2,           7!= 1·2·3·4∙5∙6∙7=5040,

                      3!=1·2·3=6,        8!= 1·2·3·4∙5∙6∙7∙8=40320,

                      4!=1·2·3·4=24,   9!= 1·2·3·4∙5∙6∙7∙8∙9=362880.

         Сочетаниями, содержащими k элементов, выбранных из n элементов заданного множества, называются всевозможные наборы k элементов, различающиеся хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначают С или (.

Число сочетаний из n элементов по k элементов определяется формулой:

С =

Пример 1. Вычислите:

a)  4!;             б) .

 

Решение.

а) ;  б)  .

Пример 2. Упростите выражение: , где т

 

Решение.

                                                

.

Пример 3.  Вычислите:

;     б) ;   в) .               

 

Решение.                                                   

 

    

.

 

б)                  

.    

 

в)  .