Как решить систему неравенств

!

Чтобы решить систему неравенств нужно:

1. решить отдельно каждое неравенство;

2. сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.

Вернемся к нашему примеру системы неравенств.

	x > 2
	x > 5

Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.

Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.

Важно!

Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.

Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число «2» будет находиться левее «5».

x > 2 x > 5

!

При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:

1. если точка не входит в область решения («пустая» точка), то рисуют пунктирную линию;

2. если точка входит в область решения («заполненная» точка), то рисуют сплошную линию.

Проведем прямые через числовые точки на осях.

Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.

Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет «x > 5». Запишем полученный ответ.

x > 2 x > 5

Ответ: x > 5

Рассмотрим другой пример системы неравенств.

	x < 0
	x ≥ − 2

Так как неравенства в системе снова представляют собой готовые ответы — сразу перейдем к поиску общего решения системы неравенств.

Нарисуем числовые оси для каждого неравенства и отметим на них решения. Проведем через каждое отмеченное число на осях прямую по правилам, описанным выше.

x < 0 x ≥ − 2

Выберем те области решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

Как видно на рисунке выше, область решений, которая подходит для обоих неравенств, находится между числами «−2» и «0».

Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства.

x < 0 x ≥ − 2

Ответ: −2 ≤ x < 0

 

Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.

Знаки сравнения («<» или «≤») в двойном неравенстве всегда смотрят влево.

Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.

Другие примеры решения систем неравенств

В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.

Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.

Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.

	5(x + 1) − x > 2x + 2
	4(x + 1) − 2 ≤ 2(2x + 1) − x

 

	5x + 5 − x > 2x + 2
	4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

 

	5x − x + 5 > 2x + 2
	4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

 

	4x + 5 > 2x + 2
	4x + 2 ≤ 3x + 2

 

	4x − 2x > 2 − 5
	4x − 3x ≤ 2 − 2

 

	2x > −3 | (:2)
	x ≤ 0

 

	2x (:2) > −3 (:2)
	x ≤ 0

 

	x > − x ≤ 0

Ответ: −1 < x ≤ 0

При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.

	5(x + 1) ≤ 3(x + 3) + 1

 

	5x + 5 ≤ 3x + 9 + 1
	(2x − 1) · 2 ≤ (x + 1) · 7

 

	5x − 3x ≤ 10 − 5
	4x − 2 ≤ 7x + 7

 

	4x − 7x ≤ 7 + 2

 

	2x ≤ 5 | (:2)
	− 3x ≤ 9 | (:−3)

 

	2x (:2) ≤ 5 (:2)
	− 3x (:−3) ≥ 9 (:−3)

 

	x ≤ 5/2

 

x ≤ 2,5   х

Ответ: −3 ≤ x ≤ 2,5

-теперь решите самостоятельную работу: