Примеры решения показательных уравнений

РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТЕМА: Показательные уравнения

Цель занятия: научиться решать показательные уравнения.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоритический материал, составить краткий конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.

Примеры:

Существует два типа показательных уравнений:

·  – показательное уравнение с иксом в степени;

· – смешанное, ведь икс находится также и в основании.

При этом:

· 2 – основание, оно должно соответствовать двум условиям, а именно: быть больше нуля и отличаться от единицы;

· х – показатель.

Для решения уравнений такого вида необходимо опираться на свойства степеней:

Свойства степеней

 

 

Как решать показательные уравнения

Например:

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:

· число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;

· степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.

Например:

Примеры решения показательных уравнений

ПРИМЕР 1. Упростить и решить уравнение

В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится: .

Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:

ПРИМЕР 2. Выполнить вычисление и найти x: 

 ,

Основания обеих частей примера – 4, оно не меняется, следовательно, можно воспользоваться изученными свойствами и получить простейшее уравнение:

Ответ: 1

 

Рассмотрим еще несколько подобных примеров:

ПРИМЕР 3. Упростить и найти значение х:

Дроби в примере разные. Поэтому приравнять их показатели сразу не получится. Но стоит обратить внимание, что числитель одной равен знаменателю другой и наоборот. 

Чтобы решить, придется вспомнить о правиле возведения в отрицательную степень, когда выражение представляется в виде дроби. Значит, числитель можно поменять местами со знаменателем. 

В показателе при этом появится знак «минус»:

При равных основаниях приравниваются степени: .

Далее придется выполнить простое действие, чтобы найти неизвестную переменную:

ПРИМЕР 4. Вычислить:

Можно представить в следующем виде: .

Далее выполнить простые действия, чтобы получить результат:  

Ответ: 2.

ПРИМЕР 5.

Ответ: 2.

ПРИМЕР 6. Решить уравнение:

Если воспользоваться свойством степеней, применяемых для умножения значений с одинаковым основанием, можно преобразовать уравнение. Общий множитель, прежде всего, нужно поставить за скобки, это правило регулярно применяется при решении:

Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, результат не изменится. В данном случае необходимо разделить на число 132. Это помогает избавиться от громоздких вычислений, удлиняющих ход решения:

Остается только приравнять показатели и решить элементарный пример:

Ответ: 2.

ПРИМЕР 7. Решить показательное уравнение:

Квадратный корень можно заменить степенью 1/2.

Ответ: 4.

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Решить показательные уравнения:

1)

3)

4)

5)

6)