РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
ТЕМА: Показательные уравнения
Цель занятия: научиться решать показательные уравнения.
Порядок выполнения работы:
1) Изучить теоритический материал, составить краткий конспект в тетради;
2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);
Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.
Примеры:
Существует два типа показательных уравнений:
· – показательное уравнение с иксом в степени;
· – смешанное, ведь икс находится также и в основании.
При этом:
· 2 – основание, оно должно соответствовать двум условиям, а именно: быть больше нуля и отличаться от единицы;
· х – показатель.
Для решения уравнений такого вида необходимо опираться на свойства степеней:
Свойства степеней |
|
|
Как решать показательные уравнения
Например:
Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
· число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
· степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.
Например:
Примеры решения показательных уравнений
ПРИМЕР 1. Упростить и решить уравнение
В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится: .
Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:
ПРИМЕР 2. Выполнить вычисление и найти x:
,
Основания обеих частей примера – 4, оно не меняется, следовательно, можно воспользоваться изученными свойствами и получить простейшее уравнение:
Ответ: 1
Рассмотрим еще несколько подобных примеров:
ПРИМЕР 3. Упростить и найти значение х:
Дроби в примере разные. Поэтому приравнять их показатели сразу не получится. Но стоит обратить внимание, что числитель одной равен знаменателю другой и наоборот.
Чтобы решить, придется вспомнить о правиле возведения в отрицательную степень, когда выражение представляется в виде дроби. Значит, числитель можно поменять местами со знаменателем.
В показателе при этом появится знак «минус»:
При равных основаниях приравниваются степени: .
Далее придется выполнить простое действие, чтобы найти неизвестную переменную:
|
|
ПРИМЕР 4. Вычислить:
Можно представить в следующем виде: .
Далее выполнить простые действия, чтобы получить результат:
Ответ: 2.
ПРИМЕР 5.
Ответ: 2.
ПРИМЕР 6. Решить уравнение:
Если воспользоваться свойством степеней, применяемых для умножения значений с одинаковым основанием, можно преобразовать уравнение. Общий множитель, прежде всего, нужно поставить за скобки, это правило регулярно применяется при решении:
Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, результат не изменится. В данном случае необходимо разделить на число 132. Это помогает избавиться от громоздких вычислений, удлиняющих ход решения:
Остается только приравнять показатели и решить элементарный пример:
Ответ: 2.
ПРИМЕР 7. Решить показательное уравнение:
Квадратный корень можно заменить степенью 1/2.
Ответ: 4.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Решить показательные уравнения:
1)
3)
4)
5)
6)