Правила вычислений производной

Практическая работа № 66.

Тема: Решение задач на пвычисление первообразной.

Цель: Научиться вычислять первообразную функции.

Задание 1.   Записать а) Определение первообразной и её обозначение для f(x).

Б) Основное свойство первообразной (Теорема).

Задание 2.    А) Доказать, что   F(x)  есть первообразная для f (x), если

F(x) = 3х⁴;         f (x) = 12х³?

Решение.  Область определения D(x) = (- ).  По правилу   F`(x) = f(x).

F`(x) = (3х<sup>4</sup>)`=3*4x^4-1 = 12 x³ = f(x).   Правило верно. Что и требовалосьдоказать.  

(Далее решить самостоятельно аналогично!)

Б)   F(x) = 0,3 х^-3,     f (x) =       

В)   F(x) = 4х⁵;    f (x) = 20х⁴

Г) F(x) = - sin x; f (x) = cos x      

Задание 3. Найти первообразную F(x) и сделать проверку, если

1) f(x) = х³

2) f(x) = 3х⁸

Задание 4.   А)  Найдите значение первообразной в точке.

А)  f (x) = -2х.   Точка А(1;4).           Заполнить пропуски!

Решение. Найдем первообразную вида F(x) + С

  F(x) =    ………… ………………….

Найдем С-? Для точки А(1;4). Т.е. координаты точки х = 1; у = 4.

Подставим в полученное уравнение первообразной вместо х = 1, F(x) = 4   и найдем С. ………………..

Подставив с в  полученное уравнение первообразной получим ответ в задаче      F₁(x) = х² + 3.                           

     Б) f (x) = - sinх.   Точка А(π; 2).

Порядок выполнения отчета по практической работе.

1. Познакомиться с теоретическими сведениями к практической работе.

2. Выполнить Задания 1, 2, 3, 4 на листе А4 со штампом, сохранить работу (фото или сканировать).

3. Сохраненный файл прислать на эл. почту Lena_Danukova@Mail.ru

или в контакте (вступить в сообщество Математика и Информатика на страничке Шарафутдиновой Е.М. по ссылке https://vk.com/public193953220).

Справочный материал

( См.Лекции)

Пример. Найти первую производную этой же функции у = 5 х¹¹ + 13х² + π  

Решение. Найдем  первую производную (т.е. f `(x) -?  или y`-?),

у` = (5 х<sup>11</sup> + 13х<sup>2</sup> + π)` = (5 х¹¹)` + (13х<sup>2</sup>)` + (π)`= 5(х<sup>11</sup>)` + 13(х²)` + 0 = 5*11*х¹¹⁺¹ + 13*2*х^2-1 = 55 х¹⁰ + 26х

Правила вычислений производной.

         Существуют правила (формулы), позволяющие находить производные выражений, составленных из функций. С – const, х – аргумент,          v(x); u(x); (v;u) - функции

№	Формулировка	Формула	Пример
1	Производная постоянной равна нулю	(С)` = 0	(3)` = 0; (3,4)` =0 (π) ` = 0
2	Производная аргумента равна единице.	(x)` = 1	(f)` = 1 (t)` = 1
3	Производная суммы равна сумме производных	(U + V) ` = U ` + V `	(x+3)` = x` + 3` = 1 + 0 = 1 (x+π)` = x` + π` = 1 + 0 = 1
4	Производная разности равна разности производных	(U - V) ` = U ` - V `	(x - 4)` = x` - 4` = 1 - 0 = 1 (5 - x)` = 5` - x` = 0 - 1 = -1
5	Постоянный множитель можно выносить за знак производной	(CU)` = C (U)`	(5x)` = 5 x` = 5*1 = 5 (1/2 t)` = ½ * t` = ½ * 1 = 1/2
6	Производная степенной функции равна произведению показателя степени на аргумент в степени на единицу меньше.	(xn) ` = n xn-1	(х3)` = 3* x3-1 = 3* x2 (2x5) = 2 * (x5)= 2*5*x4 = 10 x4

 

Видеоуроки по нахождению производной, первообразной  функций: https://www.youtube.com/watch?v=AGNbi-TTLBM

https://www.google.com/search?q=вычисление+производных+видеоурок

https://www.google.com/search?q=Нахождение+первообразной+видеоурок