2020-08-05
70Урок 116-117 23.04.2020. ЭГС-18-1
Тема: Бином Ньютона. Решение задач
Бином Ньютона - это отношение, позволяющая представить выражение (a + b)n (n ∈ Z+) в виде многочлена.
С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом - любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.
Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.
· Что означают коэффициенты перед слагаемыми?
· Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С 
, где n - степень двучлена, m - степень второго выражения.
Степень одного из множителей в одночленах с3а или са3 равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С 
= 
= 
=4, что подтверждается вашими вычислениями.
Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с2а2: С 
= = 
=6, что также верно.
|
|
|
Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С 
= С 
= 1.
Объединим ваши замечания в следующие правила:
1. Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;
2. Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;
3. Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;
4. Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.
5. Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С 
, где n - степень двучлена, m - переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.
А теперь запишем формулу бинома Ньютона - формулу представления степени двучлена в многочлен.
Определение:
Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство
Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С 
- биномиальными коэффициентами.
Запишем пример, используя бином Ньютона:
(х -2)5 = С 
х5 + С 
х4(-2)1 + С 
х3 (-2)2 + С 
х2 (-2)3 +С 
х1 (-2)4 +С 
(-2)5=
Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:
С = С =1; С = С = 
=5; С = С = 
= 
=10.)
=х5 -5 х4 2+ 10х3 22 - 10х2 23 +5х 24-25= х5 -10х4 + 40х3 - 80х2 +80х -32.
Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.
И можем добавить ещё одно правило
Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?
Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.
|
|
|
Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.
Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.
Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты - это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?
Задания
1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона
а) (х+у)6
б) (1- 2а)4
Решение:
1а) (х+у)6= х6 +6х5у +15х4 у2 +20х3у3 +15х2у4 +6ху5 +у6.
1б) (1- 2а)4 = 1 * 14 (2а)0 – 4* 13 2а + 6*12 (2а)2 - 4 * 11 * (2а)3 + 1 * 10(2а)4 == 1 - 8а + 24а2 - 32а3 + 16а4.
Домашнее задание:
Выучить формулу бином Ньютона, посмотреть видеоурок, написать конспект.
Представить в виде многочлена: (х - 1)7 (2х - 3)4
