Задача о вычислении пути

1 2

ЭТ-19 Математика 11.05.20

Тема: Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла

Задание:

Посмотрите видео ролик № 1: https://youtu.be/53Y2FYsf6xI
Запишите в тетрадь ниже приведенный опорный конспект.
Посмотрите видео ролик № 2: https://youtu.be/7hhrgW7OR2w , запишите в тетрадь примеры решения заданий.
Решить задачи для самостоятельного решения.
Отчет по работе отправить до конца дня по ссылке:

https://vk.com/topic-193913663_41525223

Опорный конспект

По теме «Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла»

Задача о вычислении пути

Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой u = 2t+3t (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

S= u(t)dt, (1)

Решение.

1. t =0с; t = 5с.

2. По формуле (1) найдем путь, пройденный телом за 5 сек.

S= 2t+3t )dt = (t ) = (5² + 5³) – (0² + 0³) = 25 + 125 – 0 = 150(м).

Ответ. S=150 м.

Пример 2. Скорость движения тела задана уравнением u = 15t – 3t (м/с). Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение.

1) В момент начала движения и в момент остановки у тела скорость u = 0. Найдем значение времени в эти моменты. Для этого решим уравнение u = 0.

15t – 3t = 0

3t(5 – t) = 0

t = 0 или t = 5

S = 15t – 3 t )dt = = =

Ответ: S = 62,5 м.

Пример 3. Скорость движения тела изменяется по закону u = 2t (м/с). Найти длину пути, пройденного телом за третью секунду его движения.

Решение:

Формулу используем эту же S= u(t)dt,

Только нам надо правильно определить t₁и t_2.

t₁будем считать началом третьей секунды, а t₂– концом этой секунды. Итак, третья секунда длится от конца 2-ой до конца 3-ей секунды.

Значит t₁= 2 и t₂ = 3.

Вычисляем интеграл S =

Ответ: S = 5 м.

2.Задача о вычислении работы переменной силы.

Работа A этой силы F вычисляется по формуле:

А=F*s, (2)

Где S – перемещение, м.

Если F – сила упругости, то по закону Гука

F=kx, (2*)

где x- величина растяжения или сжатия,

k – коэффициент пропорциональности.

Работа переменной силы вычисляется по формуле (4)

A= (3)

Пример 4. Сила упругости F пружины, растянутой на 1 =0,05м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 1 = 0,1м?

Решение

1. Определим коэффициент пропорциональности k.

Подставим формулу (2*) F=3 H, x = 0,05 м:

3=k*0,05, т.е. k=60, следовательно, F=60x=f(x).

2. Подставив F=60x в формулу (3), найдем значение работы переменной силы, полагая, что а=0; b=0,1:

A= =0,3Дж

Ответ. А = 0,3Дж.

3. Задача о силе давления жидкости.

Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

P=gphS, (4)

Где g – ускорение свободного падения в м/с ;

p – плотность жидкости в кг/м ;

h– глубина погружения площадки в м;

S – площадь площадки в м ;

Сила давления жидкости на вертикальную пластину вычисляется по формуле (5)

P=g . (5)

Пример 5.

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м ), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4мx0,7м.

Решение

1. Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x)=0.7x, где xÎ[0;0,4], поэтому пределы интегрирования а=0 и b=0,4.

2. Для нахождения силы давления воды на стену воспользуемся формулой (5).

P=g =56g»549H