Именно поэтому метод называется «методом подстановки»: информацию из одного уравнения подставляем в другое

Алгебра

 Основные методы решения систем уравнений

Мы уже умеем решать линейные уравнения. Займёмся решением систем линейных уравнений, а именно таких систем, в которых есть две переменные, например:

Есть два основных метода решения любых систем уравнений:

1. Метод подстановки.

2. Метод домножения и сложения.

Метод подстановки

Идея этого метода в следующем: пусть мы знаем значение одной из переменных. Тогда, чтобы найти вторую переменную, нужно подставить значение первой переменной в любое из уравнений. В результате получается обычное линейное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Пример 1.

Рассмотрим в качестве примера систему уравнений:

Если нам скажут, что х=2, то найти у не составит труда – подставим значение х=2, например, во второе уравнение:

Такой же результат получится, если подставить известное значение х=2 в первое уравнение:

Т. е. мы подставляем известное значение переменной, получаем линейное уравнение с одной переменной, которое мы уже умеем решать.

Но что делать, если ни одно из значений переменных нам не известно?

Предположим, что мы уже знаем значение переменной . Тогда из первого уравнения мы бы получили такое значение второй переменной:

Но значение переменной в обоих уравнениях должно получиться одинаковым:

Или:

Решим это линейное уравнение – домножим обе части уравнения на 2:

Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без неё – в другую:

Получим решение системы:

Ответ: .Каждый раз выражать переменную из двух уравнений необязательно.Из первого уравнения мы получили:

Перепишем систему в эквивалентном виде:

Говорят: «мы выразили переменную из первого уравнения».

Как мы уже говорили, раз уравнения объединены в систему, то в каждом из этих уравнений речь идёт об одних и тех же . Значит, информацию об из первого уравнения можно использовать во втором.

Именно поэтому метод называется «методом подстановки»: информацию из одного уравнения подставляем в другое.

Заменим во втором уравнении на эквивалентное выражение из первого уравнения.

Получим:

Дальше всё то же самое: получили линейное уравнение с одной переменной , которое мы уже умеем решать:

Как записывать ответ

Рассмотрим систему уравнений:

Её решением будет пара чисел: и .

Записать этот ответ можно по-разному:

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .Во всех случаях понятно, о чем идет речь. Но все же запись является уравнением (так как содержит знак равенства).

Решением системы является пара чисел, а не два уравнения (как во второй и третьей записях).Так что формально верная запись ответа здесь только одна – в виде пары чисел

Метод подстановки, когда одно условие подставляется в другое, мы часто используем в жизни. При желании можно изучить пример использования этого принципа при поиске человека в социальных сетях.