Изменение расстояния при инверсии

Основой исследований в этом параграфе будет формула V для вычисления расстояния между образами точек A и B при инверсии относительно w(O,R): |A¢B¢| = |AB|R²/(|OA|·|OB|). Из этой формулы сразу видно, что расстояние при инверсии для произвольных точек A и B не сохраняется и искажение расстояния происходит сильнее при приближении точек A и B к центру окружности инверсии. Прежде чем установить менее очевидный факт, введем важное в теории круговых преобразований⁵ понятие двойного отношения четырех точек.

Определение. Двойным отношением четырех точек A, B, C и D называют число

|AC|

|BC| :      |AD|

|BD|.

Теорема. Двойное отношение четырех точек сохраняется при инверсии.

Доказательство. Обозначим через A¢, B¢, C¢ и D¢ соответственно образы точек A, B, C и D при инверсии относительно окружности w(O,R). Тогда из формулы V имеем

|A¢C¢|

|B¢C¢|:      |A¢D¢|

|B¢D¢| =     |AC|/(|OA|·|OC|)

|BC|/|OB|·|OC|:      |AD|/(|OA|·|OD|)

|BD|/(|OB|·|OD|)             =

=       |AC|

|BC| :      |AD|

|BD|         .

 

Следующая теорема является решением проблемы H.

Теорема. Пусть даны точки A, B и число k > 0 (k ¹ 1). Множество F состоит из всех таких точек X плоскости, для которых |XA|:|XB| = k. Тогда F является окружностью (окружность Аполлония), центр которой лежит на прямой (AB).

Доказательство. На прямой (AB) можно легко найти две точки O и C, принадлежащие множеству F (одна из них будет внутренней точкой отрезка [AB], другая - внешней точкой этого отрезка). Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром в точке O произвольного радиуса R. Для образов точек A, B и C имеем

|C¢A¢|

|C¢B¢| =     |CA|R²/(|OC|·|OA|)

|CB|R²/(|OC|·|OB|)  =     |CA|

|CB| :      |OA|

|OB| = k:k = 1. 1

Пусть X¢ = inv_O^R(X) и F¢ = inv_O^R(F). Тогда, учитывая (1) и сохранение при инверсии отношения четырех точек, получаем

X Î FÛ      |XA|

|XB| :      |CA|

|CB|     = k:k = 1Û

Û     |X¢A¢|

|X¢B¢|:      |C¢A¢|

|C¢B¢| = 1Û |X¢A¢|

|X¢B¢|            = 1.

Последнее означает, что F¢ - серединный перпендикуляр к отрезку [A¢B¢]. Отсюда F = inv_O^R(F¢) - окружность, диаметр которой лежит на прямой (AB).

Формула следующей теоремы, названная в честь Леонарда Эйлера⁶, связывает между собой радиусы вписанной и описанной окружностей произвольного треугольника с расстоянием между их центрами.

Теорема. Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R и d соответственно обозначают радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Тогда d² = R²-2Rr.

Доказательство. Точки касания вписанной окружности w(O,r) со сторонами [AB], [AC] и [BC] обозначим соответственно через K, L и M (рис. 11).

 

Рис. 11

Пусть также w₁(O₁,R) - описанная около треугольника DABC окружность. Рассмотрим инверсию относительно вписанной окружности w(O,r). Так как прямые (AK) и (AL) являются касательными к окружности инверсии, образом точки A будет середина отрезка [KL] (точка A¢), аналогично B¢ = inv_O^r (B) - середина [KM] и C¢ = inv_O^r (C) - середина [LM]. Образом окружности w₁(O₁,R) будет окружность w₁¢, проходящая через точки A¢,B¢,C¢ и имеющая радиус равный r/2 (так как при гомотетии H_O^-1/2 окружность w переходит в окружность, проходящую через середины сторон DKLM, т.е. в w₁¢). Теперь попробуем выяснить, как вообще изменяется радиус окружности при инверсии. Обозначим через X и Y точки диаметра окружности w₁(O₁,R), лежащие на прямой (OO₁) (рис. 12).

Рис. 12

По свойству IX отрезок [inv_O^r(X) inv_O^r (Y)] является диаметром окружности

inv_O^r (w₁), а по свойству V его длина равна

|X¢Y¢| = |XY|

|OX|·|OY|     ·r² = 2Rr²

|R-d|·|R+d|   =     2Rr²

R²-d².

Учитывая, что |X¢Y¢| = 2R¢, где R¢ - радиус окружности inv_O^r(w₁), получаем формулу

R¢ = Rr²

R²-d²             .

Возвращаясь к образу описанной окружности при инверсии относительно w(O,r), имеем

r

2 =     Rr²

R²-d²     ÞR²-d² = 2RrÞd² = R²-2Rr.

Закончим этот параграф одним совершенно неожиданным результатом. Сначала напомним некоторые определения и факты. Окружностью Эйлера треугольника ABC называется окружность, проходящая через середины его сторон. На этой окружности также лежат основания высот DABC и середины трех отрезков, соединяющих ортоцентр этого треугольника (т.е. точку пересечения его высот или их продолжений⁷) с вершинами. Поскольку на окружности Эйлера лежат девять точек, естественно связанных с треугольником ABC, ее называют еще окружностью девяти точек. Вневписанной окружностью треугольника ABC называется окружность, касающаяся стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон. В следующей лемме перечисляются некоторые свойства вневписанной окружности.

Лемма 1. Пусть |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, p - полупериметр DABC, O₁ и O_a - центры вписанной (w₁) и вневписанной (w_a) окружностей (рис. 13), r₁ и r_a - их радиусы, X и X_a - точки касания этих окружностей со стороной [BC], K и L - с прямой (AC), M и N - с прямой (AB). Пусть также (B₁C₁) - общая внутренняя касательная к w₁ и w_a, отличная от (BC). Тогда

|AL| = p;

|AK| = p-a, |CK| = p-c, |BX| = p-b;

|BX| = |CX_a|;

|BC₁| = |B₁C| = |b-c|;

pr₁ = r_a(p-a);

r₁r_a = (p-b)(p-c).

 

Рис. 13

Доказательство. 1) Следует из 2|AL| = |AL|+|AN| = (|AC|+|CX_a|)+(|AB|+|BX_a|) = 2p.

2) Первое равенство получается из 2|AK| = |AK|+|AM| = (|AC|-|CX|)+(|AB|-|BX|) = 2p-2a. Остальные доказываются аналогично.

3) Из 2) и 1) имеем |BX| = p-b = |AL|-|AC| = |CL| = |CX_a|.

4) При симметрии относительно биссектрисы [AO_a) угла ÐBAC окружности w₁ и w_a остаются неподвижными и отрезок [BC] одной внутренней касательной переходит в отрезок [B₁C₁] другой внутренней касательной. Отсюда |BC₁| = |B₁C| и |C₁N| = |CL|. Из последнего равенства в предположении b > c получаем |BC₁| = |AN|-|AB|-|CL| = p-c-(p-b) = b-c.

5) Следует из 1) и 2) и из подобия треугольников DAO₁K и DAO_aL.

6) Следует из 1) и 2) и из подобия треугольников DKO₁C и DLCO_a.

Лемма доказана.

Лемма 2. Для окружностей w(O,R) и w₁(O₁,R₁) условие inv_O^R(w₁) = w₁ выполнено тогда и только тогда, когда w^w₁.

Доказательство. Пусть inv_O^R(w₁) = w₁, wÇw₁ = {A,B} и w₁Ç(OO₁) = {X,Y}. Тогда inv_O^R(X) = Y. Отсюда |OX|·|OY| = R² = |OA|². Поэтому (OA) - касательная к окружности w₁. Что означает (OA)^(O₁A) и w^w₁.

Предположим теперь, что w^w₁. Обозначим через w₂ = inv_O^R(w₁). Из свойства X получаем w₂^w. Поскольку существует единственная окружность, проходящая через A и B (по-прежнему, {A,B} = wÇw₁) и перпендикулярная w, w₂ = w₁. Лемма доказана.

 

Теорема (Фейербах). Окружность Эйлера треугольника ABC касается вписанной и трех вневписанных окружностей этого треугольника.

Доказательство. Сохраним некоторые обозначения леммы 1. Середины сторон треугольника обозначим через A¢, B¢ и C¢ (рис. 14). На отрезке [XX_a] как на диаметре построим окружность w. Из леммы 1 сразу получаем, что точка A¢ будет центром w (так как |BX| = |CX_a|), а ее радиус R = |XX_a|/2 = (a-2|BX|)/2 = (b-c)/2 (далее предполагаем, что b ³ c). Рассмотрим симметрию относительно w. Из условий w₁^w и w₁^w и из леммы 2 заключаем, что inv_O^R(w₁) = w₁ и inv_O^R(w_a) = w_a. Чтобы найти образ окружности Эйлера (w_э) при инверсии относительно w введем дополнительные обозначения.

 

Рис. 14

Пусть S - общая точка биссектрисы [AO_a) и прямых (BC) и (B₁C₁). Тогда |SC| = ab/(b+c) и |SB| = ac/(b+c). Отсюда

|SA¢| = (|SC|-|SB|)/2 = a

2 ·      b-c

b+c                         .

Пусть также точки B¢¢ и C¢¢ являются соответственно пересечением касательной (B₁C₁) с прямыми (A¢B¢) и (A¢C¢). Из подобия треугольников DSA¢B¢¢ и DSBC₁ получаем

|A¢B¢¢| = |BC₁|· |SA¢|

|SB|   = (b-c)·                  a

2 ·      b-c

b+c          

a·      c

b+c              

=     (b-c)²

2c                .

 

Поскольку |A¢B¢| = c/2,

|A¢B¢|·|A¢B¢¢| = (b-c)²/4 = R². (1)

 

Рассматривая подобные треугольники DA¢SC¢¢ и DCSB₁ приходим к

|A¢C¢¢| = |B₁C|· |SA¢|

|SC|   = (b-c)·                  a

2 ·      b-c

b+c          

a·      b

b+c              

=     (b-c)²

2b               .

 

Отсюда

|A¢C¢¢|·|A¢C¢| = (b-c)²

2b     ·      b

2                  = R². (2)

 

Равенства (1) и (2) означают, что inv_O^R(B¢) = B¢¢ и inv_O^R(C¢) = C¢¢. Поэтому

inv_O^R(w_э) = (B¢¢C¢¢) = (B₁C₁) и w_э касается inv_O^R(w₁) = w₁ и inv_O^R(w_a) = w_a. Аналогично доказывается, что w_э касается оставшихся двух вневписанных окружностей. Теорема доказана.

Нетрудно заметить, что окружность Эйлера w_э треугольника ABC является окружностью Эйлера для каждого из следующих треугольников: DHAB, DHAC, DHBC (H - ортоцентр DABC). Каждый из этих треугольников имеет свою вписанную и три вневписанные окружности. Таким образом, теорема Фейербаха приводит к фантастическому результату: окружность Эйлера треугольника ABC касается по крайней мере шестнадцать окружностей, естественно определенных этим треугольником.

В заключение приведем небольшой список задач для самостоятельного решения. Если какая-либо задача не решается в течение 497 секунд, разрешено посмотреть указание к решению задачи.

Задачи

1. Где-то в пустыне находится лев. Требуется загнать его в круглую клетку (будьте осторожны с выбором своего местоположения).Решение

2. Пусть на плоскости дано конечное множество точек, причем прямая, проходящая через любые две точки этого множества, содержит также третью точку этого множества. Докажите, что все точки данного множества лежат на одной прямой (теорема Сильвестра).Решение

3. На плоскости дано конечное множество точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой, и окружность, проходящая через любые три данные точки, содержит еще одну точку этого же множества. Докажите, что тогда все данные точки лежат на одной окружности.Решение

4. Докажите, что для любых двух непересекающихся окружностей w₁ и w₂ найдется инверсия, которая переведет их в концентрические окружности w₁¢ и w₂¢. Решение

5. Даны две непересекающиеся окружности w и w¢, причем w лежит внутри w¢. Окружность w₁, одновременно касающаяся w и w¢, обладает свойством Штейнера, если найдется такая цепочка окружностей w₁,..., w_n, касающихся w и w¢ и таких, что w_i касается w_i+1 для i < n и w_n касается w₁. Докажите, что если для окружностей w и w¢ найдется хотя бы одна окружность, обладающая свойством Штейнера, то и любая окружность S₁, касающаяся w¢ внутренне и w внешне, обладает свойством Штейнера (поризм Штейнера). Решение

6. Вывести формулу Герона-Архимеда для вычисления площади треугольника ABC: S²_DABC = p(p-a)(p-b)(p-c) (обозначения из леммы 1 последнего параграфа). Решение

7. Доказать, что точка пересечения медиан DABC, ортоцентр и центр описанной около DABC окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера). Решение

8. Докажите, что центр окружности Эйлера лежит на прямой Эйлера. Решение