Точкове оцінювання параметрів

Головними методами одержання точкових оцінок параметрів є метод моментів і метод максимальної правдоподібності.

Метод моментів. Цей метод (Пірсона) полягає в порівнюванні визначеної кількості вибіркових моментів, що співпадає з числом підлягаючих оцінці параметрів, з відповідними теоретичними моментами розподілу, що є функціями від невідомих параметрів. При розв’язанні системи рівнянь, що при цьому одержують, знаходять точкові оцінки параметрів.

Задля прикладу застосуємо метод моментів для визначення параметрів рівномірного закону розподілу випадкової величини зі щільністю ймовірності, що задано функцією

(1)

Обчислимо математичне сподівання і дисперсію величини :

, (2)

(3)

Для визначення оцінок параметрів і , тобто визначення і замінимо в рівняннях (2) і (3) і їхніми оцінками і (1),(2). Одержимо систему рівнянь для точкових оцінок , , звідки знаходимо:

Відомо, що метод моментів при досить загальних умовах дозволяє знайти оцінки, для яких виконується вимога асимптотичної ефективності. Однак, як доведено Фішером, отримані цим методом оцінки з погляду їхньої ефективності не є найкращими з можливих, тобто при великих вибірках вони мають не найменшу можливу дисперсію. Тому отримані цим методом оцінки слід розглядати лише як перше наближення.

Метод максимальної правдоподібності. Найбільш поширеним методом точкового оцінювання є метод максимальної правдоподібності (Фішера). Оцінки, отримані цим методом при досить великих вибірках, звичайно задовольняють усім перерахованим вище вимогам обґрунтованості, незміщеності та ефективності.

Сутність цього методу полягає у наступному. Нехай дана вибірка обсягу з генеральної сукупності з неперервно розподіленою випадковою величиною . Нехай щільність ймовірності має вигляд , тобто містить невідомий параметр , який треба оцінити за вибіркою.

Функцією правдоподібності називають функцію параметра , що визначається формулою:

. (4)

У разі дискретної випадкової величини з можливими значеннями та ймовірностями позначимо через найбільше з можливих значень, що зустрічається у вибірці, а через абсолютні частоти, з якими з'являються значення , ,... у вибірці . У цьому випадку функцією правдоподібності називають функцію параметра , що задана співвідношенням

. (5)

Метод найбільшої правдоподібності полягає в тому, що за оцінку параметра береться таке його значення, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму.

Параметр знаходять, розв’язуючи відносно нього рівняння

. (6)

Часто для зручності функцію правдоподібності заміняють її логарифмом і замість (6) розв’язують рівняння вигляду

, . (7)

Якщо щільність ймовірності або ймовірність можливого значення залежать від параметрів, то найбільш правдоподібну оцінку системи параметрів одержують під час розв’язання системи рівнянь