Тема: «Введение в анализ»

Лекция 1

§ 1. Основные топологические определения

Определение 1: Множество (мн-во) – это совокупность объектов любой () природы, объединенных по каким-то признакам.

Обозначения: A,B,C,…,X,Y,… - множества; a,b,c,…,x,y,… - элементы.

Топология– раздел математики, изучающий свойства (св-ва) геометрических фигур при некоторых их преобразованиях, при условии, что фигура может растягиваться, изгибаться, сжиматься, но не может разрываться или «склеиваться».

Определение 2: δ-окрестностью точки М₀ ϵ ℝ называется (^def) мн-во точек пространства ℝⁿ, расстояние которых до точки М₀ больше δ:

U_δ(M₀) = {M ϵ ℝⁿ: ρ(M, M₀) < δ},

где ρ(M, M₀) – расстояние между точками (…) M и M₀.

Примеры:

При n =1 U_δ(M₀) = U_δ(x₀) {x ϵ ℝ: | x- x₀ |< δ},

x_o- x_o x_o-

При n =2 U_δ(M₀) = U_δ(x₀, y_o) {(x,y) ϵ ℝ²: < δ},

y_o

x₀

Определение 3: Окрестностью U точки M₀ ϵ ℝⁿ ^def множество точек, содержащее какую-нибудь её δ-окр-ть.

Определение 4: Точка M ^def внутренней точкой множества U, если она имеет окрестность, целиком лежащую в этом множестве.

Определение 5: Множество ^defоткрытым, если оно состоит только из внутренних точек.

Определение 6: Множество ^def связным, если любые его 2 точки можно соединить принадлежащей ему непрерывной кривой.

Определение 7: Открытое связное множество ^defобластью.

Определение 8: Точка M ^def граничной для множества U, если любая её окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству.

Определение 9: Область ^defодносвязной, если её граница – связное множество.

Определение 10: Множество всех граничных точек множества U def границей множества U (обознач. Fr U, ∂U)

Определение 11: Объединение области и её границы ^defзамкнутой областью.

§2. Функции. Определение и классификация.

Рассмотрим (∢) множества D и E, ⊂ ℝ

Определение 1: Если каждой (∀) точке xϵD⊂ℝ ставится в соответствие некоторое число y=f(x), yϵE⊂ℝ, то говорят, что на множестве D задана числовая функция f:

Обозначения:

а) y=f(x)

б) f: D Ž E

в) D Ž E

Замечание:

D ^def ООФ; E ^def ОЗФ

Примеры:

Замечания:

1) Функции С, xⁿ, a^x, log_ax, sinx, cosx, tgx, arcsinx, arccosx, artcgx ^def простейшими элементарными функциями.

2) Суперпозицией f₀ g ^def сложная функция f(g(x))

3) Функции, полученные из простейших элементарных путём конечного числа арифметических действий или операций суперпозиции, ^def элементарными функциями.

Примеры:

1) Y = ln (sinx + ) – элементарная

2) y= n! – не элементарная

Способы задания функции:

а) аналитический

б) табличный

в) графический

Классификация по типу:

Классификация по свойствам:

§ 3 Числовая последовательность

Определение 1:Числовой последовательностью x₁, x₂,…,x_n,… ^def числовая ф-ция натурального аргумента (арг-та) x_n=f(n), ∀nϵ ℕ число x_n ^def «n»-ым членом послед-ти.

Примеры: арифметическая и геометрическая последовательности.

Определение 2: Последовательность {x_n}_n₌₁ ^defограниченной, если ∃ (существует) такое число M>0, что для ∀ (любого) nϵ ℕ выполняется неравенство:

|x_n|≤M (∀nϵ ℕ)

В противном случае последовательность ^defнеограниченной.

Определение 3: Последовательность ^defвозрастающей (неубывающей), если ∀ nϵℕ выполняется неравенство a_n₊₁>a_n[a_n₊₁ a_n]

Замечание 1:

Аналогично определяются убывающая и невозрастающая посл-ть.

Замечание 2:

Все эти последовательности ^defмонотонными.

Определение 4: Число a ^defпределом числовой последовательности (или точкой сгущения) {x_n}, если ∀ ε>0 (для любого положительного эпсилон) ∃ N(ε)ϵℕ (существует некоторое натуральное число N, зависящее от эпсилон): ∀n>N(ε) (такое, что для любого n большего N(ε)) ⇒ |x_n-a| < ε

Обозначение: _n=a

Примеры:

Геометрическая иллюстрация определения предела последовательности:

a₁a₃ a_n a-ἐ a a+ἐ a₂

Замечание: |x_n-a|<ε ⇔ -ε<x_n-a<ε ⇒ a-ε<x_n<a+ε ⇒ число a – предел посл-ти, если ∀ ε-окр-ти точки a найдётся такое натуральное число N, что начиная с некоторого номера n, все значения x_n попадут в ε-окр-ть точки a.

Теорема 1: (о существовании ограниченной последовательности) [теорема Вейерштрасса]

⊐ (пусть) {x_n}_n₌₁ – монотонная ограниченная числовая последовательность. Тогда эта последовательность сходится и при этом имеет только один предел.

Пример:

- монотонно убывающая последовательность, т.к.

§4. Предел функции

Определение 1: ⊐ функция f(x) определена в некоторой окрестности (.) x₀ U(x₀)⊂ℝ (за исключением, быть может, самой точки x₀). Число a ^def пределом числовой функции f(x) при xŽx₀ (x, стремящийся к x₀), если ∀ ε>0 (для любого положительного ε) ∃ δ=δ(ε)>0 (существует положительная дельта, зависящая от ε): ∀ xϵU(x₀)=(x₀-δ, x₀)∪(x₀, x₀+δ) ⇒ |f(x) – a|<ε

(такая, что для любого x из выколотой δ-окрестности выполняется неравенство |f(x) – a|<ε)

Пример: (так как , т.е. синус – функция ограниченная, на всей области определения, колеблющаяся между -1 и 1, то на бесконечности синусоида (косинусоида) не приходит ни к какому определенному значению, следовательно, пределы на бесконечности у этих функций не существуют).

Y f(x₀)

x₀

Обозначение: или

§5. Односторонние пределы

⊐ функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (за исключением, быть может, самой (.) x₀)

Определение 1: Число a ^defпределом функции f(x) при xŽx₀ слева (справа), если ∀ ε>0: ∃ δ=δ(ε)>0 такое, что ∀ xϵ(x₀-δ, x₀) [∀ xϵ(x₀, x₀+δ)] ⇒ |f(x)-a|<ε

Обозначение:

или

Замечания:

1) Пределы такого рода ^defодносторонними (соответственно левосторонними или правосторонними)

2) В общем случае пределы слева и справа не равны друг другу.

Теорема 2: (необходимое и достаточное условие существования предела)

Функция имеет в (.) предел тогда и только тогда [т. и т. т.], когда в (.) ∃-ют (существуют) пределы этой функции слева и справа, и они равны между собой, т.е.:

Следствие:

Если пределы слева и справа существуют, но не равны или один из них или оба не существуют (∄), то предел функции не существует.

Примеры:

Y Y

a a₁

X a₂ X

x_o

§6. Пределы на бесконечности. Бесконечные пределы.

∢ (рассмотрим) обобщение понятия предела на случай, когда неограничено.

Определение 1: ⊐ ф-ция определенна в окрестности бесконечно удалённой точки, т.е. ∀ : K при некотором K>0. Число есть предел ф-ции при , стремящемся к ∞, если ∀ε>0 ∃δ>K: ∀ , | > δ ⇒ | ε

Обозначение:

a+ἐ

a-ἐ

-KK₁ K=K₂ δ

K= max {|K₁|, |K₂|}

Замечание: Частным случаем предела функции на бесконечности является предел последовательности.

Определение 2: ⊐ функция определена в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ). Функция имеет предел при , если ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0: ∀x: |x-x₀|<δ ⇒ |f(x)|

Обозначение:

Эти пределы называются бесконечными пределами.

x_o-δ x_o x_o+δ

§7. Ограниченные, бесконечно-малые и бесконечно-большие функции.

Определение 1: Функция f(x), определённая в некоторой области U(x₀)⊂ℝ, называется ограниченной в этой области, если ∃N>0: ∀x ϵ U(x₀) ⇒ |f(x)|≤N

a b

Примеры:

1) y=sin x

|sin x|≤1 ∀x ϵ ℝ, т.е. ограничена на всей числовой оси.

2) ограничена на [1;2], т.к. ∃ N=1: ∀x ϵ [1;2] ⇒ ≤1.

Определение 2: Функция α(x), определенная в некоторой окрестности точки x₀, ≝ бесконечно-малой, если т.е. ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0: ∀x ϵ U(x₀) ⇒ |α(x)|<ε

0 X

x_o

Определение 3: Функция A(x), определенная в некоторой окрестности (.) x₀, ≝ бесконечно-большой при xŽx₀, если , т.е. ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0: ∀xϵU_δ(x₀) ⇒ |f(x)|>ε.

Примеры:

1. - бесконечно-большая при .

§8. Теоремы о бесконечно-малых

Теорема 1: – б/м при

↷(тогда) 1) α(x)+β(x) – б/м при xŽx₀; 2) α(x)*β(x) – б/м при xŽx₀

Доказательство:

Обозначим через δ=min {δ₁,δ₂} ↷

↷

2) Доказывается аналогично, исходя из α(x) – б/м при xŽx₀ ⇔ ∀ε>0 ∃δ₁>0: ∀xϵ ⇒ |α(x)|< ч.т.д.

Теорема 2:

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая, т.е. если α(x) – б/м при xŽx₀, f(x) – ограниченная в U(x₀) функция, то f(x)*α(x) – б/м при xŽx₀.

Док-во:

Т.к. f(x) – ограничена в U(x₀) ⇒ |f(x)|≤N, т.к. α(x) – б/м при xŽx₀ ⇒ ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0: ∀xϵU_δ(x₀) ⇒ |α(x)|<