double arrow

Тема: «Введение в анализ»



Лекция 1

§1. Основные топологические определения

Определение 1:  Множество(мн-во) – это совокупность объектов любой ( ) природы, объединенных по каким-то признакам.

Обозначения: A,B,C,…,X,Y,… - множества; a,b,c,…,x,y,… - элементы.

Топология– раздел математики, изучающий свойства (св-ва) геометрических фигур при некоторых их преобразованиях, при условии, что фигура может растягиваться, изгибаться, сжиматься, но не может разрываться или «склеиваться».

Определение 2:           δ-окрестностью точки М0 ϵ ℝ называется (def) мн-во точек пространства ℝn, расстояние которых до точки М0 больше δ:

Uδ (M0) = {M ϵ ℝn : ρ(M, M0) < δ},

где ρ(M, M0) – расстояние между точками (…) M и M0.

Примеры:

При   n=1  Uδ (M0) = Uδ (x0)  {x ϵ ℝ : | x- x0  |< δ},

 


                       xo-                  xo                            xo-

При   n=2  Uδ (M0) = Uδ (x0, yo) {(x,y) ϵ ℝ2 : < δ},

 


               yo

 

 


                                          x0

Определение 3:     Окрестностью U точки M0 ϵ ℝn def множество точек, содержащее какую-нибудь её δ-окр-ть.




Определение 4: Точка M def  внутренней точкой множества U, если она имеет окрестность, целиком лежащую в этом множестве.

Определение 5: Множество defоткрытым, если оно состоит только из внутренних точек.

Определение 6: Множество  def  связным, если любые его 2 точки можно соединить принадлежащей ему непрерывной кривой.

Определение 7: Открытое связное множество defобластью.

Определение 8:   Точка  M def  граничной для множества U, если любая её окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству.

Определение 9: Область defодносвязной, если её граница – связное множество.

Определение 10:    Множество всех граничных точек множества U def границей множества U   (обознач. Fr U, ∂U)

Определение 11: Объединение области и её границы defзамкнутой областью.

 

§2. Функции. Определение и классификация.

 

Рассмотрим (∢) множества D и E, ⊂ ℝ

Определение 1: Если каждой (∀) точке xϵD⊂ℝ ставится в соответствие некоторое число y=f(x), yϵE⊂ℝ, то говорят, что на множестве D задана числовая функция f:

Обозначения:

а) y=f(x)

б) f : D Ž E

в) D Ž E

Замечание:

D def ООФ; E def ОЗФ

Примеры:

1.               

2. 

3.                         



Замечания:

1) Функции С, xn, ax, logax, sinx, cosx, tgx, arcsinx, arccosx, artcgx def простейшими элементарными функциями.

2) Суперпозицией f0 g def сложная функция f(g(x))

3) Функции, полученные из простейших элементарных путём конечного числа арифметических действий или операций суперпозиции, def элементарными функциями.

Примеры:

1) Y = ln (sinx + ) – элементарная

2) y= n! – не элементарная

Способы задания функции:

 

а) аналитический

б) табличный

в) графический

Классификация по типу:

 

Классификация по свойствам:

§3 Числовая последовательность

 

Определение 1:Числовой последовательностью x1, x2,…,xn,… def числовая ф-ция натурального аргумента (арг-та) xn=f(n), ∀nϵ ℕ число xn def «n»-ым членом послед-ти.

Примеры:  арифметическая и геометрическая последовательности.

Определение 2:      Последовательность {xn}n=1 defограниченной, если ∃ (существует) такое число M>0, что для ∀ (любого) nϵ ℕ выполняется неравенство:

|xn|≤M (∀nϵ ℕ)

В противном случае последовательность defнеограниченной.

Определение 3: Последовательность defвозрастающей (неубывающей), если ∀ nϵℕ выполняется неравенство           an+1>an         [an+1 an]

Замечание 1:

Аналогично определяются убывающая и невозрастающая посл-ть .

Замечание 2:

Все эти последовательности defмонотонными.

Определение 4: Число a defпределом числовой последовательности (или точкой сгущения) {xn}, если ∀ ε>0 (для любого положительного эпсилон) ∃ N(ε)ϵℕ (существует некоторое натуральное число N, зависящее от эпсилон) : ∀n>N(ε) (такое, что для любого n большего N(ε) ) ⇒ |xn-a| < ε

Обозначение:        n=a

Примеры:

 

Геометрическая иллюстрация определения предела последовательности:

 


    a1          a3          an a-ἐ      a      a+ἐ                          a2

                                                                                    

Замечание:  |xn-a|<ε ⇔ -ε<xn-a<ε ⇒ a-ε<xn<a+ε ⇒ число a – предел посл-ти, если ∀ ε-окр-ти точки a найдётся такое натуральное число N, что начиная с некоторого номера n, все значения xn попадут в ε-окр-ть точки a.

Теорема 1: (о существовании ограниченной последовательности) [теорема Вейерштрасса]

⊐ (пусть) {xn}n=1 – монотонная ограниченная числовая последовательность. Тогда эта последовательность сходится и при этом имеет только один предел.

Пример:

- монотонно убывающая последовательность, т.к.

и

 

§4. Предел функции

Определение 1: ⊐ функция f(x) определена в некоторой окрестности (.) x0 U(x0)⊂ℝ (за исключением, быть может, самой точки x0). Число a def пределом числовой функции f(x) при xŽx0 (x, стремящийся к x0), если ∀ ε>0 (для любого положительного ε) ∃ δ=δ(ε)>0 (существует положительная дельта, зависящая от ε):                ∀ xϵU(x0)=(x0-δ, x0)∪(x0, x0+δ) ⇒ |f(x) – a|<ε

(такая, что для любого x из выколотой δ-окрестности выполняется неравенство |f(x) – a|<ε)

Пример: (так как , т.е. синус – функция ограниченная, на всей области определения, колеблющаяся между -1 и 1, то на бесконечности синусоида (косинусоида) не приходит ни к какому определенному значению, следовательно, пределы на бесконечности у этих функций не существуют).

                                                                                             

a
 Y                               f(x0)

x0
 
X

                                

Обозначение: или

                                                                   

 

§5. Односторонние пределы

 

⊐ функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (за исключением, быть может, самой (.) x0)

Определение 1: Число a defпределом функции f(x) при xŽx0 слева (справа), если ∀ ε>0: ∃ δ=δ(ε)>0 такое, что ∀ xϵ(x0-δ, x0) [∀ xϵ(x0, x0+δ)] ⇒ |f(x)-a|<ε

Обозначение:  

или

Замечания:

1) Пределы такого рода defодносторонними (соответственно левосторонними или правосторонними)

2) В общем случае пределы слева и справа не равны друг другу.

 

 

Теорема 2:    (необходимое и достаточное условие существования предела)

Функция  имеет в (.)  предел тогда и только тогда [т. и т. т.], когда в (.)  ∃-ют (существуют) пределы этой функции слева и справа, и они равны между собой, т.е.:

Следствие:

Если пределы слева и справа существуют, но не равны или один из них или оба не существуют (∄), то предел функции  не существует.

Примеры:

Y                                       Y                                                                                                

                                                                                                                                                  

a                        a1 

                              X   a2                                X                                              

        xo                                                                                                             

                                                                                                                                

                                                  

§6. Пределы на бесконечности. Бесконечные пределы.

∢ (рассмотрим) обобщение понятия предела на случай, когда  неограничено.

Определение 1:     ⊐ ф-ция  определенна в окрестности бесконечно удалённой точки, т.е. ∀  :  K при некотором K>0. Число  есть предел ф-ции  при , стремящемся к ∞, если ∀ε>0 ∃δ>K : ∀ , |  > δ ⇒ | ε

Обозначение:


                                           a+ἐ                                                     

                                           a                                                

                                          a-ἐ                                               

                                                                                                  

 -KK1                                                             K=K2 δ                  

                                                                                                                

K= max {|K1|, |K2|}

Замечание:       Частным случаем предела функции на бесконечности является предел последовательности.

Определение 2: ⊐ функция  определена в некоторой окрестности точки  (за исключением, быть может, самой точки ). Функция  имеет предел  при , если ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 : ∀x : |x-x0|<δ ⇒ |f(x)|

Обозначение:                          

Эти пределы называются бесконечными пределами.

                  Y                                                                                              

                                                                                                                      

                                                                                                                      

                                                                                                                       

                                                                                                                          

                    ε                                                                                               

                                                                                                                         

                                                                                                                           

                                                                                                  X                        

                                          xo  xo   xo                                                                 

§7. Ограниченные, бесконечно-малые и бесконечно-большие функции.

Определение 1: Функция f(x), определённая в некоторой области U(x0)⊂ℝ, называется ограниченной в этой области, если ∃N>0 : ∀x ϵ U(x0) ⇒ |f(x)|≤N

            Y                                                                     

                                                                                      

                                                                        X         

                                                                                  

                    a                     b                               

                                                                                      

Примеры:

1) y=sin x

|sin x|≤1 ∀x ϵ ℝ, т.е. ограничена на всей числовой оси.

2) ограничена на [1;2], т.к. ∃ N=1 : ∀x ϵ [1;2] ⇒ ≤1.

Определение 2:    Функция α(x), определенная в некоторой окрестности точки  x0, ≝ бесконечно-малой, если  т.е. ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 : ∀x ϵ U(x0) ⇒ |α(x)|<ε

              Y                                                                   

                                                                                      

                                                                                  

          0                                                          X        

                                       xo                                          

                                                                                      

Определение 3: Функция A(x), определенная в некоторой окрестности (.) x0, ≝ бесконечно-большой при xŽx0, если ,     т.е. ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 : ∀xϵUδ(x0) ⇒ |f(x)|>ε.

Примеры:

1. - бесконечно-большая при .

§8. Теоремы о бесконечно-малых

Теорема 1:  – б/м при  

↷(тогда) 1) α(x)+β(x) – б/м при xŽx0; 2) α(x)*β(x) – б/м при xŽx0

Доказательство:

1)

Обозначим через δ=min {δ12} ↷

2) Доказывается аналогично,  исходя из α(x) – б/м при xŽx0 ⇔ ∀ε>0 ∃δ1>0 : ∀xϵ  ⇒ |α(x)|<          ч.т.д.

 

Теорема 2:

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая, т.е. если α(x) – б/м при xŽx0, f(x) – ограниченная в U(x0) функция, то f(x)*α(x) – б/м при xŽx0.

Док-во:

Т.к.  f(x) – ограничена в U(x0) ⇒ |f(x)|≤N, т.к. α(x) – б/м при xŽx0 ⇒ ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 : ∀xϵUδ(x0) ⇒ |α(x)|<

∢ U(x0) Ug(x0) ↷ ∀xϵU(x0) Ug(x0) ⇒ |f(x)*α(x)|=|f(x)|*|α(x)|<N* ч.т.д.

 

Теорема 3:

⊐ функция f(x) определена в U(x0). Для того, чтобы

, необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно-малой при x→xo.

Док-во:

1. (необходимость) ⊐  Обозначим через  

2. (достаточность) ⊐

Итак,

Теорема 4:

бесконечно малая при  ↷  

Док-во:

Вторая часть доказывается аналогично.

 








Сейчас читают про: