2020-09-24
732
подробное изложение методики измерения и расчета погрешности представлено в методических указаниях [1]. В данной работе приведены лишь основные правила вычисления погрешности при прямых и косвенных измерениях.
В основном измерения являются косвенными, а они включают в себя два различных этапа: прямые измерения и последующие расчеты. Следовательно, и оценка погрешности таких измерений также должна состоять из двух этапов. Сначала необходимо оценить погрешность значений тех величин, которые определяются непосредственно при прямых измерениях, а затем выяснить, как эта погрешность при расчетах приведет к погрешности в конечном результате.
Основной порядок математической обработки результатов многократных прямых измерений:
1) вычислить среднеарифметическое (действительное) значение измеряемой величины:
; (П.2.1)
2) рассчитать абсолютную погрешность прямых многократных измерений:
; (П.2.2)
3) вычислить относительную погрешность результата измерений:
|
|
|
; (П.2.3)
4) записать окончательный результат (с учетом правила округления) в виде:
. (П.2.4)
при записи окончательного результата измерений (и оценки погрешнос-ти) необходимо всегда придерживаться следующего правила: значение абсолютной погрешности результата измерений округляют до двух значащих цифр слева, а среднее значение – до того разряда, в котором находится вторая значащая цифра абсолютной погрешности.
Пример. Пусть в результате измерений и расчетов было получено: 
= 17,968 см и D х = 0,237 см. Тогда окончательный результат (с учетом правил округления) следует записать в виде: х = (17,97 ± 0,24) см.
Основные этапы математической обработки результатов косвенных измерений:
1) провести прямые измерения всех величин (x, y, z,...), входящих в рабочую формулу f = f (x, y, z,...), и математическую обработку полученных результатов;
2) вычислить действительное (среднеарифметическое) значение измеряемой величины < f >, подставив в рабочую формулу среднеарифметические значения переменных < х >, < y >, < z >,...:
< f > = f (< x >, < y >, < z >,...); (П.2.5)
3) рассчитать абсолютную погрешность результата:
, (П.2.6)
где 
… – модули частных производных функции по переменным х, y, z, ..., вычисленные по среднеарифметическим значениям < x >, < y >, < z >,...;
4) вычислить относительную погрешность результата:
; (П.2.7)
5) записать окончательный результат (с учетом правила округления) в виде:
. (П.2.8)
Если искомая величина представляет собой выражение вида
|
|
|
f = f (x, y, z) = xaybzc, (П.2.9)
т. е. не содержит операций сложения и вычитания, причем постоянные a, b, c могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, проще сначала найти относительную погрешность ef:
aex + bey + cez. (П.2.10)
После этого рассчитывают абсолютную погрешность D f по формуле D f = ef ×á f ñ и записывают окончательный результат в стандартном виде (П.2.8).
Если при косвенных измерениях практически невозможно воспроизвести прежние условия проведения эксперимента, то в этом случае после проведения многократных прямых измерений величин x, у, z, … для получения окончательного результата, т. е. á f ñ, D f, ef, необходимо выполнить действия в следующем порядке:
1) для каждого из значений xi, уi, zi, … вычислить значение fi косвенно определяемой величины:
fi = f (xi, yi, zi, …); (П.2.11)
2) определить среднее значение измеряемой величины:
; (П.2.12)
3) вычислить погрешность каждого измерения:
D fi = á f ñ - fi, i = 1, …, n; (П.2.13)
4) рассчитать случайную погрешность измерений:
; (П.2.14)
5) вычислить погрешность, вносимую различными инструментами в абсолютную погрешность косвенно измеряемой величины (назовем формально эту погрешность инструментальной D f ин):
. (П.2.15)
При этом после нахождения частных производных в выражение (П.2.15) следует подставить наименьшие из измеренных значений x, у, z, …, приводящие к наибольшей погрешности D f ин;
6) определить абсолютную погрешность:
D f = D f сл + D f ин; (П.2.16)
7) рассчитать относительную погрешность:
×100 %; (П.2.17)
8) произведя округление результатов расчета, записать окончательный результат измерения в стандартном виде (П.2.8).
Абсолютную погрешность D f косвенно измеряемой величины f можно определить без непосредственного вычисления частных производных, используя формулы численного дифференцирования (прил. 3). Полученная на основе выражения (П.2.6) формула для расчета D f примет вид:
(П.2.18)
где 
– среднее значение величины f.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
Таблица П.4.1
Десятичные приставки
| Наименование | Обозначение | Отноше- ние | Наимено-вание | Обозначение | Отно- шение |
| деци санти милли микро нано пико | д с м мк н п | 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 | дека гекто кило мега гига тера | да г к М Г Т | 101 102 103 106 109 1012 |
Таблица П.4.2
Плотность вещества
| Вещество | Плотность ρ, г/см3 | Вещество | Плотность ρ, г/см3 |
| Алюминий Бронза Вольфрам Латунь Лед Магний Медь Никель Нихром Олово Свинец Сталь (железо) Титан Цинк Чугун | 2,7 8,7 – 8,9 19,3 8,3 – 8,7 0,9 1,7 8,9 8,9 8,1 – 8,4 7,3 11,3 7,8 4,5 7,1 7,0 – 7,8 | Бетон Картон Стекло (окон) Фарфор Фторопласт Гетинакс Текстолит Эбонит Береза Дуб Ель Сосна Кедр Клен Тополь | 1,8 – 2,8 0,69 2,4 – 2,7 2,2 – 2,5 1,3 – 1,4 1,3 – 1,4 1,3 – 1,6 1,2 – 1,4 0,65 0,76 0,45 0,52 0,5 – 0,6 0,75 0,48 |
Таблица П.4.3
Значения физических величин
| Коэффициент трения скольжения µ: металл по металлу дерево по металлу | 0,15 – 0,30 0,20 – 0,60 |
| Коэффициент вязкости воды η при температуре: 20°C 25°C 30°C | 1,002 мПа·с 0,894 мПа·с 0,7978 мПа·с |
| Коэффициент вязкости воздуха η притемпературе: 0°C 27°C | 17,4 мкПа·с 18,6 мкПа·с |
| Средняя длина свободного пробега молекул воздуха < l > при давлении 101,3 кПа и температуре 27° C | 0,10 мкм |
| Эффективный диаметр молекул воздуха | 0,30 нм |
| Постоянная адиабаты для воздуха | 1,40 |
|
|
|
| |
