II. Окружность и углы

I. Вычисление элементов прямоугольного треугольника

При выполнении заданий 7 на вычисление элементов прямоугольного треугольника достаточно знать определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и теорему Пифагора.

1) В Теорема Пифагора: АВ² = АС² + ВС².

Пифагоровы треугольники: 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

острого угла:

sinA = ; cosA= ; tgA = ; ctgA =

А С Основное тригонометрическое тождество: sin²A+ cos²A=1

Формулы приведения: sin(90˚- α) = cosα; cos(90˚-α) = sinα

sin(180˚- α) = sinα; cos(180˚-α) = -cosα

α функции	0˚(0)	30˚()	45˚()	60˚()	90˚()	180˚ (π)
sin α	0				1	0
cos α	1				0	-1
tg α	0		1		не сущ.	0
ctg α	не сущ.		1		0	не сущ

2) В Высота прямоугольного треугольника, проведенная из

Н вершины прямого угла, разделяет треугольник на два

подобных прямоугольных треугольника, каждый из

которых подобен данному треугольнику.

А С СН= ; АС =

3) В

∆АВС - равнобедренный,

∆АВН=∆ВСН

А С ВН - медиана, биссектриса, высота.

Решать задания 7 можно по-разному. Показано несколько образцов решения задач.

Пример 1.

Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, tgα =

, ВС = 6. В Найдите АС. Решение: По определению tg А =

;

; АС = ВС:

= 6:

= 6

= 8. А С

В бланк ответов:

Пример 2.

Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол В равен 30º, ВС = 3

. Найдите АС. В А

С Решение: По определению tg В =

; АС = ВС · tg 30º = 3

= 3. В бланк ответов:

Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º,

cosA = . Найдите sinB. В

Решение:

По определению cosA = ;

sinB = = cosA = = 0,8. А С

В бланк ответов:

Пример 3.

Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 39, sinА =

. Найдите АС. В А

С Решение: 1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²A + cos²A = 1, получим: (

)² + cos²A = 1;

+ cos²A = 1; cos²A = 1 -

; cos²A =

; cosA =

. 2) По определению cosA =

; АС = АВ · cosA; АС = 39 ·

= 36. В бланк ответов:

Пример 4.

Пример 5.

Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 95, cosВ =

. Найдите АС. В А

С Решение: 1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²В + cos²В = 1, получим: sin²В+ (

)²= 1; sin ²В+

= 1; sin ²В = 1 -

; sin ²В =

; sin ²В = (

)²; sin В =

. 2) По определению sin В =

; АС = АВ · sin В; АС = 95 ·

= 19 · 4 = 76. В бланк ответов:

Пример 6.

Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, AB = 14, AС = 7 . Найдите sinА.

А С

Решение:

1) По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС²; 14² = (7 )² + ВС²; 196 = 49 · 3 + ВС²;

196 = 147 + ВС²; ВС² = 196 - 147; ВС² = 49; ВС² = 7²; ВС = 7.

2) По определению sinА = = = = 0,5.

В бланк ответов:

Пример 7.

Задание 7. В треугольникеАВС угол С равен 90º, угол А равен 30º. Найдите синус

угла ВАD.

D А С

Решение:

BAD и BAС – смежные, отсюда

sin BAD = sin(180º - 30º) = sin30º = = 0,5.

В бланк ответов:

Пример 8.

Задание 7. На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его тангенс.

Решение: В D

BAD и

BAС – смежные, отсюда А tg BAD = tg(180º -

BAС) = - tg BAC = -

= -2. С

В бланк ответов:

Пример 9.

Задание 7. Найдите тангенс угла АОВ, изображенного на клетчатой бумаге.

О А

Решение:

В tg BОA = = 0,8.

О А В бланк ответов:

Пример 10.

Задание 7. В треугольникеАВС угол С равен 90º, cosA =

, ВС = 3. СН – высота. Найдите АН. Решение: В 1) cosA =

, значит, АС = 4, АВ = 5 Н (Проверка: ВС² + АС² = АВ²; 3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25). А С 2) ΔАСН – прямоугольный: cosA =

; АН = АС cosA =4 ·

В бланк ответов:

Задание 7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ

равна 10, а высота, проведенная к основанию, равна Найдите косинус угла А.

А Н С

Решение:

1) ΔАВН – прямоугольный:

по теореме Пифагора АВ² = АН² + ВН²; 10² = АН² + ²; 100 = АН² + 19;

АН² = 100 - 19; АН² = 81; АН² = 9²; АН = 9.

2) По определению cosA = = = 0,9.

В бланк ответов:

Пример 11.

Пример 12.

Задание 7. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, АВ = 8.

Найдите tg А.

Решение:

1) По свойству равнобедренного треугольника С

высота СН является и медианой. Значит,

АН = АВ: 2 = 8: 2 = 4.

2) ΔАСН – прямоугольный:

по теореме Пифагора АН² + СН² = АС²; А Н В

4² + CH² = 5²; 16 + CH² = 25; CH² = 25 – 16;

CH² = 9; CH = 3.

tg А = = = 0,75.

В бланк ответов:

Пример 13.

Задание 7.В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 5, cosС = 0,8. Найдите высоту СН. С

А В Н Решение: 1) ΔАВС – равнобедренный, значит, cosС = cosА = 0,8. 2) ΔАСН – прямоугольный: cosА =

= 0,8 =

, отсюда АН = 4. По теореме Пифагора АН² + СН² = АС²; 4² + СН² = 5²; 16 + СН² = 25; СН² = 25 - 16; СН² = 9; СН = 3. В бланк ответов:

II. Окружность и углы

Центральный угол

Вписанный угол

а) б) в)

О А В L

В . O А С L

С .. В А O L

В D А L С

- полуокружность

Пример 14.

О А В

Задание 7.Центральный угол на 36⁰ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах. Решение: Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла:

, тогда

В бланк ответов:

Пример 15.

В ? 32⁰ О С А

Задание 7. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен 32⁰. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла:

, где - вписанный угол,

- центральный угол.

Тогда .

В бланк ответов:

Пример 16.

Задание 7. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол . .

В бланк ответов:

Пример 17.

Задание 7. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как . Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.