П1.2. Решение графов. Формулы Мезона

Под решением графа понимают решение соответствующей системы уравнений, т.е. выражение переменных в зависимых узлах через передачи ветвей и переменные источников. Один из путей решения СГ – сведение его к конечному графу типа рис. П.1, что довольно неудобно ввиду необходимости многократных преобразований, второй – по формулам Мезона, основанных на учете структурных особенностей СГ и являющихся электротехнической трактовкой формул Крамера, используемых при решении систем линейных уравнений. При одном источнике передача СГ от узла – источника x_i к зависимому узлу x_k имеет вид:

                                            ,                          (П1.11)

где   P_ik,l  –  передача   l –го  прямого  пути  от   x_i  до   x_k,  образуемая  произведением передач входящих в этот путь ветвей;  – определитель графа, где Т_j – передачи всех контуров графа, а символ * означает равенство нулю произведений передач соприкасающихся контуров («касание» означает наличие хотя бы одного общего узла);  – алгебраическое дополнение P_ik,l, где T_pl – передачи контуров, не касающихся l –го прямого пути.

Для определения передач между зависимыми узлами x_l и x_k можно пользоваться формулой

                                 ,              (П1.12)

хотя, если узел – источник x_i соединен только с узлом x_l, то при определении G_kl СГ можно упростить, отбросив все входящие в узел x_l ветви, после чего он становится источником, т.е. значение G_kl можно находить по общей формуле (П1.11). В качестве примера определим передачи графа G ₅₁ и G ₄₂ графа на рис. П1.6, из вида которого имеем

Отсюда

При отсутствии источников СГ соответствует однородная система уравнений (все f_i = 0), поэтому определение переменных в узлах не имеет смысла, однако передачи между узлами могут быть вполне определенными величинами. Поэтому для определения, например, G_kl можно использовать прием подключения «виртуального» источника x_i, соединенного только с узлом x_l (рис. П1.7), что позволяет путем отбрасывания входящих в x_l ветвей сделать его источником и, соответственно, использовать для расчетов формулу (П1.11).

При нескольких источниках решение СГ возможно двумя способами:

- применение принципа суперпозиции, когда значения переменных в узлах определяются от каждого источника в отдельности и полученные результаты складываются;

- приведение к графу с одним источником путем введения в структуру СГ «виртуальных» ветвей (см. пример рис. П1.8).