Свободные и вынужденные колебания

Частота колебаний математического маятника (или их период) зависит от длины нити, на которой подвешен груз, и от ускорения свободного падения в том месте, где находится маятник. Она не зависит от массы груза и от амплитуды колебаний. В этом легко убедиться, проделав простой опыт. Если подвесить на нити груз определённой массы, измерить частоту качаний такого маятника, а затем удлинять или укорачивать нить, частота колебаний будет меняться пропорционально квадратному корню из длины нити. При этом масса подвешенного груза не имеет никакого значения. Вы можете подвесить на нити самые различные предметы и убедиться в том, что при одной и той же длине нити частота, с которой качаются все подвешенные предметы, будет одинаковой. Точно так же легко убедиться в том, что частота и амплитуда колебаний никак не связаны между собой. Амплитуда зависит от того, насколько вы при запуске колебания отклонили груз от состояния равновесия. Если вы отведёте его на большое расстояние, размах качаний будет большим, но их частота будет такой же, как если бы вы только слегка сдвинули его. Также поскольку в нашем опыте мы не можем избавиться от сопротивления воздуха, колебания маятника будут постепенно затухать, и амплитуда будет уменьшаться вплоть до полной остановки маятника. Однако всё это время частота колебаний будет оставаться постоянной. Период колебания любого математического маятника можно вычислить по формуле:

Т = 2π√¯l / g,

где l – длина нити, а g – ускорение свободного падения.

Если у вас есть маятниковые часы типа ходиков, вы можете отрегулировать их ход, передвигая груз на маятнике. Чем ниже он опустится, тем медленнее будут идти часы. Это замедление будет пропорционально квадратному корню из длины маятника. Если увеличить расстояние от груза до точки подвески в четыре раза, то минутная стрелка, совершавшая полный оборот за час, теперь будет проделывать это за два часа. По формуле маятника можно точно вычислить ускорение свободного падения в любой точке Земли, а также на Луне или каком– либо другом небесном теле. Всё, что для этого требуется, это измерить длину нити и период колебаний любого подвешенного к ней груза. Для того чтобы точность определения периода была достаточно большой, надо подсчитать число колебаний (N) за достаточно продолжительное время (t), а затем вычислить период, разделив t на N.

До сих пор мы говорили о тех колебаниях, которые будет совершать тело, если его вывести из состояния равновесия и затем предоставить самому себе. Такие свободные   колебания будут происходить с частотой, которую называют собственной. Но колебание может быть вызвано и другими причинами, например периодически меняющейся внешней силой. Звонарь может раскачивать язык колокола с той частотой, которая соответствует требуемой мелодии. Игла в швейной машине двигается вверх и вниз под влиянием действующей на неё силы тяги от мотора. В этом случае система совершает вынужденные колебания.  

Резонанс

А что произойдёт, если периодическая сила действует на систему, способную совершать собственные колебания? Рассмотрим это на примере качелей (рис. 58). Для того чтобы раскачать качели, их отводят на некоторое расстояние от точки равновесия и отпускают. Качели за время, равное периоду, совершают одно колебание, возвращаются в исходную точку, и в этот момент, когда их скорость становится равной нулю, их толкают в том направлении, в котором они бы всё равно начали двигаться. То, что толчок делается в тот момент, когда качели возвращаются в первоначальное положение, означает, что прилагаемая сила будет направлена на преодоление сил сопротивления для того, чтобы колебания были незатухающими. При совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы (качелей) будет наблюдаться резкое возрастание амплитуды.

Рис. 58. При раскачивании качелей частота периодической внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний качелей

Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы называют резонансом.  

Резонанс играет очень большую роль в самых разнообразных природных и технических процессах, причём эта роль может быть как положительной, так и отрицательной. Наиболее известный случай, связанный с разрушительным действием резонанса, произошёл в 1905 г. в Петербурге (рис. 59). Кавалерийский эскадрон чётким церемониальным шагом переходил через реку Фонтанку по Египетскому мосту. Частота ударов лошадиных копыт совпала с собственной частотой колебаний моста, и тот обрушился. Поэтому теперь при движении по мостам войскам приказывают идти вольным шагом, а поезда снижают скорость или, наоборот, проносятся через мост с максимальной скоростью, для того чтобы период колебаний от ударов колёс о стыки рельсов был заведомо больше или меньше собственных колебаний моста.

Библейский рассказ о том, как рухнули стены города Иерихон, когда осаждавшие разом громко затрубили во все трубы, может иметь под собой вполне реальную основу. Такое могло произойти, если достаточно мощные звуковые колебания звучащих в унисон труб совпали с частотой собственных колебаний стен города.

Как будет рассказано дальше, многие природные явления представляют собой колебательные процессы: это и звук, и свет, и передача сигналов в телевизорах и мобильных телефонах, и радиоактивное излучение. Частота колебаний в этих процессах может в большей или меньшей степени совпадать с частотой колебаний других систем, окружающих их и влияющих на них.

Рис. 59. Египетский мост в Санкт-Петербурге

Явление резонанса используется при конструировании различных приспособлений, применяемых в средствах связи, медицине и во многих других областях. Для того чтобы усилить или ослабить какие-либо колебания, надо повлиять на частоту колебаний тех объектов, которые действуют на интересующее нас явление или процесс. Чем ближе будут частота собственных колебаний и частота внешней силы, тем больше будет амплитуда возникающих вынужденных колебаний. В дальнейшем мы рассмотрим конкретные примеры резонансных процессов.