Метод Зейделя и метод простой итерации

Понятие об итерационных методах решения СЛАУ.

В отличие от прямых методов, итерационные методы обычно не дают точного ответа за конечное число шагов, однако на каждом шаге уменьшают ошибку на какую-то долю. Итерации прекращают, когда ошибка становится меньше допуска, заданного вычислителем (пользователем). Величина финальной ошибки зависит от количества итераций, а также от свойств метода и СЛАУ. Другими словам, итерационные методы дают решение СЛАУ в виде предела последовательности некоторых векторов, построение которых осуществляется посредством единообразного процесса, называемого итерационным процессом.

Рассмотрим два простейших итерационных метода решения СЛАУ – метод простой итерации и метод Зейделя.

Пусть требуется решить СЛАУ

(1)

Итерационные методы решения системы уравнений (1) состоят в построении последовательности векторов

(2)

по некоторому алгоритму, такому, что из следует . При этом

(3)

где – точное решение системы, а – называется начальным приближением решения.

Вычисления ведутся до тех пор, пока норма разницы двух последовательных приближений не станет

, (4)

где e – малое положительное число (заданная точность). С точностью до e решение принимается равным .

Метод Зейделя и метод простой итерации.

Пусть задана система уравнений:

. (5)

Выразим через остальные члены i -го уравнения:

. (6)

Полученная запись СЛАУ приводит к двум итерационным процессам.

Метод простой итерации.

, . (7)

Метод Зейделя.

, (8)

При этом задается (), – номер итерации.

Процесс ведется до выполнения условия .

Норму вектора можно, в частности, вычислять по формулам:

– норма по модулю;
– «евклидова» норма;
– максимум модуля для элементов вектора.

Разница методов состоит в том, что в методе простой итерации новые значения учитываются лишь после вычисления их для всех , а в методе Зейделя они учитываются сразу же после вычисления их для каждого .