Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Рабочий лист.

Предмет	Математика
Группа	№ 1 2 курс
Тема урока	Векторное уравнение прямой и плоскости.
ФИО преподавателя	Тимиршина Алия Мунзиловна
Где находится задание:
Учебник	М.И. Башмаков Математика, задачник, 2017г
Ссылка	http://www.belgtis.ru/images/obuch/pm/MatematikaZadachnikBashmakov.pdf
Сроки выполнения задания	01.10.2020 до 17:00
Как выполнять задание	Написать конспект и выполнить домашнее задание.
Домашняя работа	М.И. Башмаков Математика, задачник, 2017г, стр.106 № 5.32 (5,6).
Обратная связь	Выполненные работы отправить личным сообщением ВК
Как узнать отметку о выполненном задании	Оценки будут выставлены в личный журнал преподавателя и отправлены в беседу ВК.

Тема: Векторное уравнение прямой и плоскости.

 Векторный и координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними)

• Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра;
• Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой;
• Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость;
• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра (расстояние от любой точки прямой до указанной плоскости);
• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра (расстояние между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью);
• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых, образованных при пересечении прямых (0º < < 90º);
• Углом между двумя скрещивающимися прямыми, называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся;
• Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º;
• Угол между двумя параллельными прямыми считается равным нулю;
• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол межу этой прямой и ее проекцией на данную плоскость (0º < < 90º);
• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90º;
• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней ), то угол между ними считается равным 0º;
• Двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярно его ребру, величина двугранного угла принадлежит промежутку (0º;180º);
• Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку ;
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным нулю.
• Ax+By+Cz+D=0 - уравнение плоскости, где вектор нормали данной плоскости;
• A(x-x₀ )+B(y-y₀ )+C(z-z₀ )+D=0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M(, ;
• - длина вектора ;
• длина вектора или длина отрезка AB,если A
• - уравнение плоскости M(;
• = - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(, и направляющим вектором прямой l;
• x= x₀+a₁t, y=y₀+a₂t, z=z₀=a₃t – параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M( параллельно вектору

• – скалярное произведение векторов ;
• (условие перпендикулярности двух векторов);
• - угол между векторами ;
• - угол между плоскостями , и - векторы, перпендикулярные данным плоскостям;
• угол между прямыми в пространстве есть острый угол между направляющими векторами данных прямых (прямая однозначно задается точкой и направляющим вектором данной прямой);
• угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и проекцией прямой на плоскость. Для нахождения этого угла используется угол между направляющим вектором прямой и вектором нормали (перпендикулярным) плоскости ;

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. На диагоналях АВ₁ и ВС₁ граней AA₁B₁B и ВВ₁С₁С параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A₁C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Решение.

Введем векторы:

Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем:

Так как точка Н лежит на диагонали АВ₁, то векторы коллинеарны, поэтому существует такое число х, что Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что

По правилу ломаной находим:

По условию MН A₁C, значит, существует такое число t, что то есть выполняется равенство:

Вследствие некомпланарности векторов и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1 – х – t = 0, t – у = 0, х – у – t = 0. Решением этой системы уравнений является: Тогда значит, МН: СА₁ = 1: 3.

Ответ: 1: 3.

№2 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB= 16,а высота равна 4. На ребрах AB,CD,AS отмечены точки M, N и K соответственно, причем AM = DN = 4,AK = 3.Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

Решение:

Во введенной прямоугольной системе координат центр основания пирамиды совпадает с началом координат О(0;0;0) вершины имеют координаты:

S(0;0;4),A(0; - 8 0), B(8 ;0;0),C(0;8 ;0)и D(0;- 8 ;0).

Определим координаты точки K По условию AK= 3, то точка K делит отрезок AS в отношении :

- координаты точки K, где координаты концов отрезка AS AK: KS= 3: 9=1: 3 ( SOA по теореме Пифагора SA =

Таким образом, = 0 ; z= =1⇒ K(0 1).

Составим уравнение плоскости , причем воспользуемся другим способом задания уравнения плоскости, отличным от предыдущего. Так как плоскость проходит через точки S (0;0;4), B(8 ;0;0)и C(0;8 ;0) то подставив координаты точек в общее уравнение плоскости Ax+By + Cz + D = 0, получим систему из трех уравнений:

⟺ ⟺

⟺

=0- уравнение плоскости (SBC), вектор нормали к плоскости.

Расстояние от точки K до плоскости : = = .

Ответ: .

№3 В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 6, найдите

(φ- угол между диагональю ВА₁ грани АА₁В₁В и плоскостью ВС₁D, А1М- расстояние от вершины А₁ до плоскости ВС₁D)

1. V=?

2. А₁М=?

3. φ=?

Решение:

1. Объем куба равен кубу его стороны, значит

2)Пусть отрезок A₁М — перпендикуляр из вершины А₁ на (ВС₁D), М (ВС₁D) (рис. 4). Тогда A₁М = ρ(А₁; (ВС₁D)). Найдем длину отрезка A₁М.

По правилу треугольника имеем:

Обозначим: а в плоскости ВС₁D введем базис где и запишем разложение вектора по векторам этого базиса в виде: Тогда

Так как A₁М (ВС₁D), то A₁М ВС₁, A₁М ВD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), значит,

Коэффициенты х и у в разложении вектора найдем, пользуясь условием:

которое равносильно системе уравнений

Прежде чем решать эту систему уравнений, найдем скалярные произведения векторов:

Так как треугольники ВС₁D, A₁ВС₁, A₁ВDv— правильные и равные, то длины их сторон равны а

Тогда:

(**)

(***)

Вернемся к решению системы уравнений (*).

Учитывая соотношения (**) и (***) и свойства скалярного произведения векторов, получаем:

Тогда и

Таким образом,

3)Обозначим (ВА₁; (ВС₁D)) = φ. Так как А₁М (ВС₁D), то ВМ — ортогональная проекция ВС₁ на (ВС₁D)

значит, (ВА₁; (ВС₁D)) = (ВА₁; ВМ)= = А₁ВМ = φ.

Используя соотношения (**) и (***) и то, что вектор при имеет вид находим:

Ответ:

1)

2)А1М=4√3

3) φ= arccos√(3/3)

Домашнее задание: М.И. Башмаков Математика, задачник, 2017г, стр.106 № 5.32 (5,6).