Теоретическое введение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

 

Методические указания к лабораторному занятию по дисциплине

 «Механика и молекулярная физика»

         (для студентов 1 курса для всех специальностей КазНТУ)

 

Алматы 2013

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

 

Цель работы: изучение свободных гармонических колебаний, определение их характеристик, ознакомление с математическим маятником.

Теоретическое введение

    Движение тела под действием одной только силы тяжести называется свободным падением, а ускорение, приобретаемое при этом, ускорением свободного падения или ускорением силы тяжести.

    Под действием силы тяжести, определяемой из закона всемирного тяготения, тело массой  падает на Землю с ускорением  (второй закон Ньютона)

,                                      (6.1)

где  - масса Земли,  - расстояние от тела до центра Земли,  - радиус поверхности Земли,  - расстояние от центра тяжести тела до поверхности Земли.

    Из (6.1) следует, что

                                       (6.2)

и не зависит от массы, размеров и других характеристик падающего тела, а зависит от географической широты и высоты поднятия тела над поверхностью Земли.

    Значение ускорения  вблизи поверхности Земли, рассчитанное теоретически равно

.                                  (6.3)

    Существует много способов экспериментального определения величины ускорения свободного падения. В данной работе ускорение  рассчитывается из рассмотрения гармонических колебаний, совершаемых математическим маятником при малых углах отклонения от положения равновесия.

    Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебательное движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Небольшой тяжелый шарик массой , подвешенный на тонкой нити, длина  которой намного больше размеров шарика, является хорошим приближением к математическому маятнику (рисунок 6.1).

В точке  сила тяжести  уравновешивается силой натяжения нити . Это положение равновесия. При отклонении маятника (в точке ) силы  и  расположены под углом друг к другу. Разложим силу  на

 

Рис.6.1

две составляющие силы  и , направленные соответственно перпендикулярно нити и вдоль нее. Сила  уравновешивается силой , а сила  вызывает ускоренное движение шарика к положению равновесия. Точку  шарик проходит по инерции, дальше движется замедленно, в точке  останавливается и начинает движение в противоположную сторону. Таким образом, маятник совершает свободные (только под действием силы тяжести) колебания относительно положения

равновесия. Выведем уравнение этих колебаний. При малых углах отклонения маятника () дуга траектории шарика приближается к прямой линии и выполняются равенства

,                                                   (6.4)

где  - отклонение шарика от положения равновесия. Из силового треугольника на рисунке 6.1 можно определить результирующую силу . С учетом (6.4) она равна

.                               (6.5)

Знак минус указывает на то, что сила  направлена противоположно смещению шарика . По второму закону Ньютона

                                     (6.6)

или

,                                       (6.7)

где                                      .                                   (6.8)

Таким образом, при малых отклонениях от равновесного положения движение шарика описывается линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка, общее решение которого имеет вид:

                                                                                (6.9)

Рис.6.2

Смещение шарика  изменяется со временем по синусоидальному закону, т.е. маятник совершает гармонические колебания, график которых представлен на рисунке 6.2.. Максимальное отклонение маятника а от положения равновесия называется амплитудой, величина , стоящая под знаком синуса, называется фазой колебаний,  - начальной фазой (фаза в момент времени ),

- циклической частотой, которая связана с периодом колебаний Т (временем одного полного колебания) соотношением

.                                       (6.10)

Из равенств (6.8) и (6.10) получаем:

.                                       (6.11)

Откуда период колебаний математического маятника:

      .                                           (6.12)

Из (6.12) вытекает расчетная формула для экспериментального определения ускорения свободного падения

.                                               (6.13)

Погрешность ускорения , определяемого косвенно по формуле (6.13), следует оценить путем дифференцирования натурального логарифма функции  (см. формулу (1.16) лаб. раб. №1)

.                                       (6.14)

Прологарифмируем выражение (6.13): .

Возьмем дифференциал натурального логарифма: .

Заменяя знак   на   и минус перед дифференциалом на плюс, получим

.                                         (6.15)

Погрешность определения длины маятника   зависит от точности отсчета по вертикальной шкале. Ее можно оценить в половину цены наименьшего деления шкалы, т.е. 0,5 см.

Рис.6.3

6.2 Выполнение работы Приборы и принадлежности:работа выполняется на математическом маятнике, общий вид которого представлен на рисунке 6.3. На основании (1) укреплена колонна (2) с двумя кронштейнами (3) и (4). На верхнем кронштейне на двух нитях (5) подвешен шарик (6). Положение кронштейна фиксируется затяжением воротка (7). Длину маятника можно регулировать с помощью воротка (8), а ее величину определять по шкале на колонне (2). На нижнем кронштейне установлен фотоэлектрический датчик (9), соединенный с секундомером(10). Кронштейн с датчиком можно перемещать вдоль колонны и фиксировать в любом положении.

    6.2.2 Порядок выполнения работы

1) Установить необходимую длину маятника (). Значение   занести в таблицу 7.1;

2) Установить нижний кронштейн с фотодатчиком так, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе датчика;

3) Подключить прибор к питающей сети, нажав кнопку «сеть»;

4) Нажать кнопку «сброс» - обнулить секундомер;

5) Отклонить маятник на угол    от положения равновесия и отпустить;

6) После совершения маятником  колебаний ( задается преподавателем), нажать кнопку «стоп»;

   7) Секундомер замерит время  колебаний. Значения  и   занести в таблицу;

   8) Повторить измерение времени 5 раз;

   9) Вычислить значения ,  и ;

  10) Определить период колебаний  по формуле  и погрешность определения периода ;

11) По формуле (6.13) вычислить ускорение свободного падения .

12) По формулу (6.15) вычислить относительную погрешность измерений ;

13) Абсолютную погрешность рассчитать по формуле (6.14) ;

14) Окончательный результат представить в виде:

Таблица 6.1

 

Контрольные вопросы

1 Ускорение свободного падения.

2 Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных колебаний. График гармонических колебаний. Период, амплитуда, фаза, циклическая частота.

3 Математический маятник. Вывод формулы периода колебаний математического маятника.

4 Порядок выполнения работы.