Примеры решения логарифмических уравнений

РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТЕМА: Логарифмические уравнения

Цель занятия: научиться решать логарифмические уравнения.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоритический материал, составить краткий конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Логарифмическим называется уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов.

Примеры:

Для решения уравнений такого вида необходимо опираться на свойства логарифмов:

Как решать логарифмические уравнения

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:

Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:

Таким образом, мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше нуля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Как сделать проверку

Если наше уравнение имеет вид , то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его.

Примеры решения логарифмических уравнений

ПРИМЕР 1. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ: По определению логарифма имеем

Сделаем проверку. Подставим найденный x в исходное уравнение: . Так как , то последнее выражение верно. Следовательно, x =4 является корнем уравнения.

ОТВЕТ: 4.

ПРИМЕР 2. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся определением логарифма и получим: . Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный x в исходное уравнение:

Так как , то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

 

ОТВЕТ: 3.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение .

РЕШЕНИЕ: По определению логарифма имеем .

,

Сделаем проверку. Подставим найденные x в исходное уравнение:

1)                                                                                     

                                                  

Так как , то х =3 является корнем уравнения

2)

Так как , то х =-1 является корнем уравнения

ОТВЕТ: 3; -1.

Рассмотрим еще один способ решения логарифмических уравнений:

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

ПРИМЕР 4. Уравнение из примера 2 решим еще раз, но теперь этим способом

В левой части у нас логарифм с основанием 3. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 3.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:

То есть в нашем случае:

Теперь можно начать преобразовывать правую часть нашего уравнения: , далее заменим 1:

Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:

Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:

Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

ОТВЕТ: 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

ПРИМЕР 5. Решить уравнение

Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:

После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:

Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:

Вспоминаем свойства степеней:

,

,

Делаем проверку:

Так как , то последнее выражение верно. Следовательно, x =3 является корнем уравнения.

ОТВЕТ: 3

ПРИМЕР 6. Решить логарифмическое уравнение

Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:

Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим  в исходное уравнение:

Верно, следовательно,  является корнем уравнения.

Теперь подставим  в исходное уравнение:

Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, –  посторонний корень.

ОТВЕТ: 1.

 

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Найти корни уравнения:

1)

3)

4)

5)