Обоснование выбора метода вычислений

Задание №1

Математическая формулировка задачи

Методом половинного деления вычислить на ЭВМ корень уравнения вида , расположенный на отрезке [ a, b ], с абсолютной погрешностью . Выполнить проверку полученного решения.

Вариант задания	Уравнение	Отрезок	Точность
2		[-2; 0]

Теоретическая часть

Решение уравнения приближенными методами состоит из двух этапов: определение интервала изоляции корня (нахождение исходного приближения) и уточнение корня с заданной точностью.[1]

Очень часто приближенное значение корня уравнения известно из физических соображений. Если же оно неизвестно, его находят с помощью грубого анализа функций.

Для отделения корней используют теорему: если значения непрерывной функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. , то внутри отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения . При этом функция должна иметь на отрезке первую и вторую производные.

Условием того, что на отрезке , лежащем в , находится только один корень, является сохранение производными и постоянного знака. Кроме того, на отрезке производные не должны обращаться в нуль.

Алгоритм отделения корня (нахождение интервала изоляции) будет следующим.

Выбирается некоторый начальный шаг . Начиная с , равного , вычисляется значение с шагом до тех пор, пока значение не изменит знака. Новым значением интервала изоляции корня будет

, (1)

где – левая граница интервала изоляции; – шаг изменения ; – число шагов.

После нахождения шаг уменьшается, вычисление значения идет от точки в обратную сторону, для чего меняется знак шага . Процесс продолжается до тех пор, пока не изменит знака.

Таким образом, левая граница отрезка будет равна

, (2)

где – новая левая граница отрезка; – новая правая граница отрезка; – коэффициент уменьшения шага, – первоначальный шаг изменения.

Если на отрезке производная одного знака, то это означает, что – интервал изоляции одного корня.

Для вычисления корня с заданной погрешностью методом деления интервала изоляции корня пополам (метод дихотомии) можно использовать два варианта алгоритма. Рассмотрим оба варианта.

Обоснование выбора метода вычислений

Вариант 1. Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии) реализуется следующим алгоритмом для . (При берем [4]).[2]

1. Находим .

2. Вычисляем .

3. Если >0, задаем , иначе .

4. Проверяем условие ; если оно выполняется, заканчиваем вычисления и считаем, что с заданной точностью , если не выполняется, идем к п.1.

Число итераций при использовании этого метода

значительно, и поэтому сходимость его медленная. Однако при любой ширине отрезка сходимость гарантирована. Кроме того, простота реализации метода уменьшает число вспомогательных операций и частично компенсирует увеличение общего времени счета из-за медленной сходимости.

Вариант 2. Сначала вычисляются значения функции в точках, расположенных через равные интервалы на оси . Это делается до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции и , имеющие противоположные знаки. Известно, что если функция непрерывна, изменение знака указывает на существование корня. Затем по формуле

вычисляется среднее значение в интервале значений и находится значение функции . Если знак совпадает со знаком , то в дальнейшем вместо используется . Если же имеет знак, противоположный знаку , т.е. ее знак совпадает со знаком , то на заменяется это значение функции. В результате интервал, в котором заключено значение корня, сужается. Если достаточно близко к нулю, процесс заканчивается, в противном случае процесс продолжается. На рис.1 процедура показана графически. Хотя метод половинного деления не обладает высокой вычислительной эффективностью, с увеличением числа итераций он обеспечивает получение все более точного приближенного значения корня. После того как впервые найден интервал, котором заключен корень, его ширина после итераций убывает в раз[3].