Послойное произведение отображений

Определение 20. Пусть f: X ® Y и g: Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ´ g этих отображений называется отображение h: Т ® Y, где

и

.

Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:

для любой точки y Î Y.

Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:

Теорема 2.9. Пусть отображения f: X ® Y   и   g: Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ´ g также является послойно связным отображением.

Лемма 2.4. Пусть f, g: X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = { x Î X: f (x) = g (x)} является замкнутым в Х.

Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x Î X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох Ì Х \ Т.

Возьмём произвольную точку x Î X \ Т. Тогда f (x) = y ₁ Î Y, g (x) = y ₂ Î Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy ₁ точки y ₁ и Оy ₂ точки y ₂ такие, что

Оy ₁ Оy ₂ = Æ.         {*}

Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f ^–1(Oy ₁), g ^–1(Oy ₂) – открытые в Y и x Î f ^–1(Oy ₁), x Î g ^–1(Oy ₂). Рассмотрим окрестность Ох = f ^–1(Oy ₁) g ^–1(Oy ₂) точки х. Предположим, что Ох Т ≠ Æ, т.е. существует такая точка х ₁ Î Ох, что f (x ₁) = g (x ₁) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy ₁, так и окрестности Oy ₂, что противоречит условию {*}. ÿ

Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ´ Y является компактным множеством.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω =  – открытое покрытие пространства X ´ Y. Рассмотрим слой

= Y ´ { x }.

Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому  – компактное множество. Тогда из открытого покрытия

Ω (х) = Í Ω,

(где U_a (x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя  можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω (х) = . Объединение

U (x) = (x)                        (**)

есть открытое множество, содержащее слой , и pr_X – замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х, что Í U (x). Семейство { Оx: x Î X } образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие { Ox_i : i = 1,.., k }. Тогда семейство ω =  образует конечное подпокрытие пространства X ´ Y. ÿ

Теорема 2.10. Пусть f: X ® Y   и   g: Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ´ g также является связным отображением компактного пространства Т.

Доказательство. По определению послойного произведения,  (,  – непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х ´ Z, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h (T) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.

Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ´ g является связным. €

Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится

Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ´ Y является хаусдорфовым множеством.

Доказательство. Пусть z ₁ и z ₂ – произвольные фиксированные точки пространства X ´ Y. Рассмотрим точки x ₁ = pr_X (z ₁), x ₂ = pr_X (z ₂) и y ₁ = pr_Y (z ₁), y ₂ = pr_Y (z ₂) пространств X и Y соответственно. Точки z ₁ и z ₂ различны, следовательно, x ₁ ¹ x ₂ или y ₁ ¹ y ₂. Пусть y ₁ ¹ y ₂. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy ₁ и Oy ₂ точек y ₁ и y ₂ соответственно, что Oy ₁ Oy ₂ = Æ. Проекция pr_Y является непрерывным отображением, поэтому множества  и  – открытые в X ´ Y и непересекающиеся. Причём, z ₁ Î  и z ₂ Î . Следовательно, пространство X ´ Y – хаусдорфово по определению. 

Теорема 2.11. Непрерывное отображение f: X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.

Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f ´ i: T ® Y отображений   f: X ® Y и i: Y ® Y, где i – тождественное отображение и множество Т = {(x; y): f pr_X = i pr_Y = pr_Y }. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X ´ Y. Пусть (x ₁; y ₁) Î T – произвольная фиксированная точка. Тогда pr_Y (x ₁; y ₁) = y ₁ = f pr_X (x ₁; y ₁). Отсюда, для точек (x ₁; y ₁), (x ₂; y ₂) Î Т выполняется неравенство pr_X (x ₁; y ₁) ¹ pr_X (x ₂; y ₂) при х ₁ ¹ х ₂. Следовательно, непрерывное отображение pr_X: Т ® Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X ´ f (X) Í X ´ Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = pr_X : T ® X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т Х, и f = pr_Y . Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g ^–1: X ® T. Таким образом, множество d (Х) = Т замкнуто в X ´ Y, и f = pr_Y d. Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению. 

Литература.

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.

2. Александров П.С. Геометрия.

3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.

4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.

5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.